第1章物理学力学数学矢量习题解答 第1章物理学力学数学矢量习题解答 1.2.3.4.5.6.7.略 0.5×4.5=0.5。co(A,B)=2≈0.0308，夹角(A,B)≈88.24 8.二矢量如图所示A=4,B一5，α=25°，B=36.8,直接根据矢量标积 定义和正交分解法求A·B。 11.已知A+B+C=0,求证A×B=B×C=C×A 解：直接用矢量标积定义： 证明：用已知等式分别叉乘A,B,C,有A×A+B×A+C×A=0 A.B=ABcos(90-a+B)=-4 用正交分解法：，A=4c0sa=3.6 AxB+B×B+CxB=0,A×C+B×C+C×C=0.其中， Ay=4sin a=1.7,Bx=5cos(90+B)=-5sin B=-3,By=5sin(90+B=5cos B=4 A×A,B×B,C×C均为零，.A×B=B×C=C×A .AB=AB+A,B,=3.6×(-3)+1.7×4=-4 12.计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)R(0,2-1)为顶点的三角形的面积。 9.已知A=-i+j,B=i-2j+2K,求A与B的夹角。 解：据矢积定义，△PRQ的面积 A=|PR×POLPR=OR-OP= y1R(0,2,1) 解：由标积定义AB=ABcos(A,B)∴cos(A,B)=,而 Q5,10,7) A=-12+12=2,B=2+(-2)2+22=3,A.B=-3 -3i+2j-9k,P0=00-0P= P3.0.8) .co(4,B)=是=-号，两失量夹角(A,=135° 2i+10j-R 10.已知A+B=3i+5j-k,A-B=4i-4j+k,求A与B PR×PQ= -32 -9 =88i-21j-34R 的夹角。 210-1 解：将已知两式相加，可求得A=3.5i+0.5j:再将已知两式相 |PR×P0上V882+212+342=96.6,∴△PRQ面积4==48.3 减，可求得B=-0.5i+4.5j-k..A=V3.52+0.52≈3.5， B=V-0.5)2+4.52+(-1)2≈4.64，A.B=3.5×(-0.5)+ 13. 化简下面储式 解：（①）(A+B-C)×C+(C+A+B)×A+(A-B+C)×B第1章物理学力学数学 矢量习题解答 3 第 1章物理学力学数学 矢量习题解答 1．2．3．4．5．6．7．略 8．二矢量如图所示 A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积 定义和正交分解法求 A B    。 解：直接用矢量标积定义： A B = ABcos(90 − + ) = −4   用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6 Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90º+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4 ∴ A B = AxBx + AyBy = 3.6(−3) +1.7 4 = −4   9．已知 ˆ ˆ , ˆ 2 ˆ 2 ˆ , 求 与B的夹角。     A = −i + j B = i − j + k A 解：由标积定义 AB A B A B AB A B A B           = cos( , )cos( , ) = ，而  = = − =  = − + = = + − + =  = − − cos( , ) , , ) 135 ( 1) 1 2, 1 ( 2) 2 3, 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 A B A B A B A B       两矢量夹角（ 10．已 A B i j k A B i j k A B       知 + = 3 ˆ + 5 ˆ − ˆ ， − = 4 ˆ − 4 ˆ + ˆ ,求 与 的夹角。 解：将已知两式相加，可求得 A i j 5 ˆ 0. 5 ˆ = 3. +  ；再将已知两式相 减，可求得 . 3.5 0.5 3.5 ˆ ˆ 0.5 ˆ 4.5 2 2 B = − i + j − k  A = +   ， = (−0.5) + 4.5 + (−1)  4.64,  = 3.5 (−0.5) + 2 2 2 B A B   0.5×4.5=0.5。 =     cos(A,B) 0.0308, (A,B) 88.24 AB A B       夹角 11．已知 A B C 0, A B B C C A.          + + = 求证  =  =  证明：用已知等式分别叉乘 A B C A A + B A + C  A =          , , ,有 0 A B + B B + C  B = 0, AC + BC + C C = 0.             其中， A A B B C C A B B C C A              ,  ,  均为零，  =  =  12．计算以P(3,0,8)、Q(5,10,7)、R(0,2,-1)为顶点的三角形的面积。 解：据矢积定义，△PRQ的面积 A = 2 | PR PQ |, PR = OR − OP 1 = − i + j − k, PQ = OQ −OP = ˆ 3 ˆ 2 ˆ 9 i j k ˆ ˆ 2 ˆ +10 − . i j k i j k PR PQ ˆ 88ˆ 21ˆ 34 2 10 1 3 2 9 ˆ ˆ ˆ = − − −  = − − | | 88 21 34 96.6, 48.3 2 2 2 2 9 6.6 PR PQ = + + = PRQ面积A = = 13． 化简下面诸式 解：⑴ A B C C C A B A A B C B             ( + − ) + ( + + ) + ( − + ) y B β A α 0 x y R(0,2,-1) Q(5,10,7) o x z P(3,0,8)