第七章实数的完备性 (3)能从H中选出有限个开区间覆盖(1,1).例如选取(1, n),n=1,2,…,99即可 6.证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合[a,b]本身 证设x∈[a,b],若x∈(a,b),取δ=min{x-al,lx-b计 则δ>0,且U(x,8)C[a,b],从而对任给正数e(<8),有U(x,E)C[a b],而U(x,e)中含有[a,b]的无限多个点,故x为[a,b]的聚点若x= a,则对任给正数e(<b-a),有U+(a,e)cU(a,e),且U+(a,e)c[a, b],即U(a,e)内含有[a,b]的无限多个点,故a是[a,b]的聚点,x=b 同理可证 设x为[a,b]聚点,假设x∈[a,b],则x<a,或a>b,若x<a,取 0<E<a-x,则U(x,e)∩[a,b]=,即U(x,e)中不含[a,b]的点, 这与x为[a,b]的聚点相矛盾所以x∈[a,b],x>b同样可证 7.证明:单调数列{xn}若存在聚点,则一定是唯一的,且是{xn}的 确界 证设递增数列{xn}的聚点,设a为任一实数且a≠,不妨设a <(a>同理可证),取e=52a>0,由聚点定义,U(,)中含有 xn}的无限多个项,设x∈U(y,e),由{xn}的递增性,当n≥N时,xn ≥ⅪN,故U(a,e)中最多含有{x2}的有限多个项x1,x2,…,xN-1,所以a 不可能是{xn的聚点由a的任意性为{xn}的唯一聚点 现在证明:= sipix},事实上, (1)为{x2}的上界,反之,若存在x>,则当n>N时,有 xn>5,取E=x->0,则在U(,e)内最多含有|xn}的有限多个项 xn,n=1,2,…,N-1,与聚点相矛盾 (2)=sp{xn},因为对任给正数e,存在xn∈U(,e),从而 xn>y-E,结合(1)便知!=sup{xn}对递减数列类似可证 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理 证设E为直线上有界无穷点集,则存在M>0,使EC[-MM