§1关于实数集完备性的基本定理 (1)(an+1,bh+1)C[xn,yn]c(an,bn),从而 II C[,,y] (2)bn+1-an+1<yn-xn<bn-an,从而由lim(bn-an)=0,得 Lim(yn -xn)=0 所以{[xn,yn为闭区间套,由区间套定理,存在一点,使得氏∈ xn,yn],n=1,2,…,由(1)有an<E<bn(n=1,2,…),满足条件an< E<bn(n=1,2,…),点的唯一性与区间套定理同样证得 4.试举例说明:在有理数集内,确界原理,单调有界原理聚点定理 和柯西收敛准则一般都不能成立 解:设an=(1+1)bn=(1+1)1,则{a。}1b}均是有理数列 (1)点集{an1n=1,2,…}非空有界,但在有理数集内无上确界 (2)数列{an}单调递增有上界,但在有理数集无极限 (3)点集{an1n=1,2,…}有界无限,但在有理数集无聚点 (4)数列{an}满足柯西收敛准则,但在有理集内无极限 5设H={(n2,)|n=1,2,…}是一个无限开区间集,间 (1)H能否覆盖(0,1)? (2)能否从H中选出有限个开区间覆盖(0,)? (3)能否从H中选出有限个开区间覆盖(,1)? 解(1)H能覆盖(0,1),因为对任意x∈(0,1),存在n,使 2 <x< (2)不能从H中选出有限个开区间覆盖(,),因对H中任意有 限个开区间,设其中左端点最小出+2,则当0<x<1 时,这 有限个开区间就不能覆盖x 181