第七章实数的完备性 第七章实数的完备性 81关于实数集完备性的基本定理 1验证:数集{(-1)+1}有且只有两个聚点1=-1和6 证:因为(-12+2:(-11+2k+:∈1(=-1y+1 且m(-12+是=1,m(-11++工=-1,所以1和-1 为{(-1)+}的聚点 反证法:假设x为不同于1和-1的聚点,则取=2minx- 1,1x+11存在N=1/0当n>N时(-1)+落在U(x,) 外部即落在∪(x,)至多只有有限点这于聚点定义相矛盾 2.证明:任何有限集都没有聚点 证明:设S为有限集,x为其聚点,由聚点定义存在互异{xn}cS 且有 lim xn=x,数列{xn}有无限项,这于S为有限集相矛盾 3.设{an,bn}是一严格开区间套,即 a1<a<…<an<…<b<…<b<b1 且limn(bn-an)=0.证明存在唯一一点,有 n2<<bn,n=1,2, 证作闭区间列{[xn,yn]},其中 b, + bni 由于a<x<an+1,bh1<yn<bn,故有