第6期 贾云海等：螺旋弹簧多目标稳健优化设计 ·789· 健性设计入手，选取钢丝直径，弹簧中径和弹簧有效 免弹簧钢丝卷绕时产生剧烈弯曲，C值也不能太 圈数为设计参数，以弹簧刚度与目标值均方差最小、 小.根据实验研究得到弹簧指数的参考范围[C. 弹簧自振频率最大和弹簧质量最轻为目标函数，以 (4)压缩弹簧细长比b,表征弹簧稳定性的指 弹簧指数和弹簧细长比为约束函数，在MATLAB 标，定义为弹簧自由高度与中径的比值，即b=Ho/ 中编程求解. D2.由实验研究得到了压缩弹簧细长比许用值 1螺旋弹簧的结构和性能指标 [b=f(dmar,Ho),dax表示最大工作负荷下的变 形量，如图2所示，点划线是理论分析和实验校核得 一般液压阀用螺旋弹簧有如下要求：弹簧的外 到的曲线点划线以下区域是弹簧稳定工作区，实线 径要符合阀的结构布置：弹簧的工作行程要适应阀 是便于理论分析，通过非线性拟合得到的弹簧稳定 的开口量：弹簧刚度和预压缩量要满足阀芯一弹簧 工作边界线[b]=6.83-5.01(a/Ho)- 系统力学平衡方程：弹簧的最小工作负荷和最大工 35.64G/Ho)2+95.14111（Gax/Ho)3+ 作负荷要适应阀的动作要求9。一般表征弹簧设计 50.21(Gx/Ho)4-26L.43Gmax/Ho)). 尺寸的参数主要是弹簧钢丝直径d、弹簧中径D2 (也有选择弹簧外径D)、弹簧有效圈数n、导程t和 弹簧自由高度Ho等（图1(a)),这几个参数之间有 一·实验得到的判别曲线 一拟合得到的曲线 确定的换算关系，而前三个参数是最重要的 螺旋弹簧的力学分析如图1(b)所示其中， 4- Fm表示工作负荷，dfim表示工作负荷下的变形量. 表征弹簧性能参数有以下几个. 2人 D a) b 06 0.10.20.30.40.50.6 最大工作负荷下的变形量与自由高度的比 图2压缩弹簧稳定性判别曲线 Fig 2 Stability distinguished curve of a compression spiral spring 2基本参数的稳健性描述 D 图1螺旋弹簧基本参数(a与力学分析(b) 弹簧质量m=pd (n十25)D2的标准差 Fig.I Basic parameters (a)and mechanics analysis (b)of a spimal 虽可以表示为： spring = 2+ dm 2 ap ad odl (1)弹簧刚度K:.弹簧微分长度dl上的扭转 2 应变量为=其中d0为弹簧微分长度d在 am an (1) 弹簧轴线切面上相应的扭转角，r为弹簧钢丝半径. =2 经过推导可以得到弹簧刚度的计算公式K:= 式中，p= 4(n+25)D2阳 m=oxd(n+ 2 Gd 其中G为弹簧钢丝的剪切弹性模数. =pp2.-p 2.5)D,n 4D2,D2 4(n+2.5). 原其中P为 (2)弹簧自振频率f=、d。 弹簧刚度K,的标准差可以表示为： 2 k23 弹簧钢丝的密度.为了避免共振的出现，弹簧的自 品+就+ 振频率与液压系统的压力脉动频率不能相近 水2 k an a+D 、6 (2) (3)弹簧指数C,也称旋绕比，定义为弹簧中径 与钢丝直径的比值，即C=D/d.为了使弹簧比较 aK d4 aK Gd3 aK Gd 稳定，不致过软而产生振动，C值不能太大；但为避 式中，G 8Dan'd=2Din'n 8Din2健性设计入手, 选取钢丝直径 、弹簧中径和弹簧有效 圈数为设计参数, 以弹簧刚度与目标值均方差最小 、 弹簧自振频率最大和弹簧质量最轻为目标函数, 以 弹簧指数和弹簧细长比为约束函数, 在 MATLAB 中编程求解. 1 螺旋弹簧的结构和性能指标 一般液压阀用螺旋弹簧有如下要求 :弹簧的外 径要符合阀的结构布置;弹簧的工作行程要适应阀 的开口量;弹簧刚度和预压缩量要满足阀芯-弹簧 系统力学平衡方程 ;弹簧的最小工作负荷和最大工 作负荷要适应阀的动作要求 [ 8] .一般表征弹簧设计 尺寸的参数主要是弹簧钢丝直径 d 、弹簧中径 D2 (也有选择弹簧外径 D) 、弹簧有效圈数 n 、导程 t 和 弹簧自由高度 H0 等( 图 1( a) ), 这几个参数之间有 确定的换算关系, 而前三个参数是最重要的. 螺旋弹簧的力学分析如图 1( b) 所示, 其中, F lim表示工作负荷, d f lim表示工作负荷下的变形量 . 表征弹簧性能参数有以下几个 . 图1 螺旋弹簧基本参数( a) 与力学分析( b) Fig.1 Basic paramet ers ( a) and mechanics analysis ( b ) of a spiral spring ( 1) 弹簧刚度 K t .弹簧微分长度 d l 上的扭转 应变量为 γr =rd θ dl .其中 dθ为弹簧微分长度 d l 在 弹簧轴线切面上相应的扭转角, r 为弹簧钢丝半径 . 经过推导可以得到弹簧刚度的计算公式 K t = Gd 4 8D 3 2 n , 其中 G 为弹簧钢丝的剪切弹性模数 . ( 2) 弹簧自振频率 f = d 2πnD 2 2 G 2ρ .其中, ρ为 弹簧钢丝的密度.为了避免共振的出现, 弹簧的自 振频率与液压系统的压力脉动频率不能相近 . ( 3) 弹簧指数 C, 也称旋绕比, 定义为弹簧中径 与钢丝直径的比值, 即 C =D2/ d .为了使弹簧比较 稳定, 不致过软而产生振动, C 值不能太大;但为避 免弹簧钢丝卷绕时产生剧烈弯曲, C 值也不能太 小 .根据实验研究得到弹簧指数的参考范围[ C] . ( 4) 压缩弹簧细长比 b, 表征弹簧稳定性的指 标, 定义为弹簧自由高度与中径的比值, 即 b =H0/ D2 .由实验研究得到了压缩弹簧细长比许用值 [ b] =f ( δmax , H0) , δmax 表示最大工作负荷下的变 形量, 如图 2 所示, 点划线是理论分析和实验校核得 到的曲线, 点划线以下区域是弹簧稳定工作区, 实线 是便于理论分析, 通过非线性拟合得到的弹簧稳定 工 作 边 界 线 [ b ] = 6.83 - 5.01( δmax/ H0) - 35.64( δmax/ H0 ) 2 + 95.141 11 ( δmax/ H0) 3 + 50.21( δmax/ H0) 4 -261.43( δmax/ H0) 5 ) . 图2 压缩弹簧稳定性判别曲线 Fig.2 St ability distinguished curve of a compression spiral spring 2 基本参数的稳健性描述 弹簧质量 m =ρ π 2 d 2 4 ( n +2.5) D2 的标准差 δ2 m 可以表示为 : σ 2 m = m ρ 2 σ 2 ρ+ m d 2 σ 2 d + m n 2 σ 2 n + m D2 2 σ 2 D 2 ( 1) 式中, m ρ = π 2 d 2 4 ( n +2.5) D2, m d =ρ π 2 d 2 ( n + 2.5) D2, m n =ρ π 2 d 2 4 D2, m D2 =ρ π 2 d 2 4 ( n +2.5) . 弹簧刚度 K t 的标准差 σ 2 K t可以表示为: σ 2 K t = K t G 2 σ 2 G + K t d 2 σ 2 d + K t n 2 σ 2 n + K t D2 σ 2 D2 ( 2) 式中, K t G = d 4 8D 3 2 n , K t d = Gd 3 2D 3 2 n , K t n =- Gd 4 8D 3 2 n 2 , 第 6 期 贾云海等:螺旋弹簧多目标稳健优化设计 · 789 ·