。790 北京科技大学学报 第31卷 水：_=-3Gd4 [d,D2,nT.选取mim(K-[K)2+](K aD2 8Din 表示弹簧刚度的目标值)，f→max、m→min作为优 弹簧自振频率∫的标准差σ子可以表示为： 化设计目标.选取以下参数作为约束函数：C∈ ++别品+ [Cmim,Cma]=[6,9习（文献[8]），b≤[b1,1.6≤d≤ 4,10≤D2≤35,6.5≤n≤20,20≤Ho≤150，且d、 〔元+所 (3) D2、n和Ho要符合国家标准中提供的优先选择系 列值. d 2Din?N20 选取图3所示的电磁阀中的主阀弹簧的设计作 af一 d G af d -050f= G 为实例说明，根据文献8,10提供的数据，钢丝材料 aD2 πD3nN2pG8xD3n20 ’dp 为碳素钢丝弹簧】类，其参数如表1所示.根据主 Gd G -05 阀芯和弹簧构成的质量一弹簧系统动态性能要求设 &nD3p220 定[K=3500Nm,在MATLAB中的多目标有 弹簧指数C的标准差σ乙可以表示为： 约束函数fgoalattain()编程求解，其结果如表2所 ac22 示 (4) 弹簧细长比b的标准差防可以表示为： 品 (5) 式中，D2=-DH =1/D2. 1一直流电磁铁：2一推杆：3一先导阀阀芯：4一先导阀阀套：5一先 导阀弹簧：6一主阀阀芯：7一主阀阀套：8一电磁换向阀阀体：9一 3基于稳健性的弹簧多目标优化 主阀控制弹簧 图3电磁换向阀结构图 选取设计变量向量X=[x1,x2,x'= Fig.3 Stmucture graph of a solenoid direction valve 表1弹簧参数 Table I Parameters of the spiral spring 弹簧钢丝 密度标 剪切弹性 剪切弹性 弹簧中径 弹簧钢丝直 弹簧有效图 弹簧自由 材料密度 准差，o/ 模量.G/ 模量标准差 标准差，‘n 径的标准差， 数允许偏差. 高度标准差， P/(kg'm-3) (kg'm3) GPa GdMPa mm Ga/mm cn/图 c。mm 7980 16.52 784 163.5 0.0033D2 001 ±025 0004H。 表2优化结果比较 Table 2 Comparison of data before and after optimization 项目 钢丝直径 弹簧中径/ 有效图数/ 弹簧质量/弹簧刚度/ 弹簧自振 弹簧质量 弹簧刚度弹簧自振频 mm mm 图 kg (N'mm-) 频率/Hz标准差10-4 标准差 率标准差 未优化 25 20 13.5 0.037 35446 163.30 7.08 9387 328 优化 23 18 13.5 0030 3483.3 185.48 5.49 95.25 3.74 由表2的结果对比可以知道，优化后的弹簧刚 量系统的动态响应特性有了提高，调整时间缩短，超 度与弹簧刚度的目标值更接近，(K:-[K1)2+o天， 调量降低，当然对于阀芯一弹簧质量系统的动态响 的值减小，弹簧自振频率得到显著提高，弹簧质量有 应特性不可能只调整弹簧性能参数就获得满意的结 所减轻，因此可以认为稳健优化设计后的弹簧抗干 果，还必须考虑阀芯的质量以及黏性负载力等因素， 扰能力提高，弹簧性能得到提升.图4是通过仿真 调整弹簧性能参数只能在有限的范围内提高系统的 分析比较弹簧参数优化前后电磁阀主阀芯动态响应 动态响应特性 特性.由图可以明显地知道，优化后的阀芯一弹簧质 由式(1)、(2)推导可以看出，弹簧钢丝直径dK t D2 =- 3Gd 4 8D 4 2 n . 弹簧自振频率 f 的标准差σ 2 f 可以表示为 : σ 2 f = f d 2 σ 2 d + f n 2 σ 2 n + f D2 2 σ 2 D 2 + f G 2 σ 2 G + f ρ 2 σ 2 ρ ( 3) 式中, f d = 1 2πD 2 2 n G 2ρ , f n = - d 2πD 2 2 n 2 G 2ρ , f D2 =- d πD 3 2 n G 2ρ , f G = d 8πρD 2 2 n G 2 ρ -0.5 , f ρ = - Gd 8πnD 2 2ρ2 G 2ρ -0.5 . 弹簧指数 C 的标准差σ 2 C 可以表示为: σ 2 C = C d 2 σ 2 d + C D2 2 σ 2 D 2 ( 4) 式中, C D2 =1/ d, C d =- D2 d 2 . 弹簧细长比 b 的标准差 σ 2 b 可以表示为: σ 2 b = b H0 2 σ 2 H 0 + b D2 2 σ 2 D 2 ( 5) 式中, b D2 =- H0 D 2 2 , b H0 =1/D2 . 3 基于稳健性的弹簧多目标优化 选 取 设 计 变 量 向 量 X =[ x 1, x 2, x3] T = [ d , D2, n] T .选取 min[ (K t -[ K t] ) 2 +σ 2 K t ] ([ K t] 表示弹簧刚度的目标值), f ※max 、m ※min 作为优 化设计目标.选取以下参数作为约束函数 :C ∈ [ C min, Cmax ] =[ 6, 9] ( 文献[ 8] ), b ≤[ b] , 1.6 ≤d ≤ 4, 10 ≤D2 ≤35, 6.5 ≤n ≤20, 20 ≤H0 ≤150, 且 d 、 D2 、n 和 H0 要符合国家标准中提供的优先选择系 列值. 选取图 3 所示的电磁阀中的主阀弹簧的设计作 为实例说明, 根据文献[ 8, 10] 提供的数据, 钢丝材料 为碳素钢丝弹簧 Ⅰ类, 其参数如表 1 所示 .根据主 阀芯和弹簧构成的质量-弹簧系统动态性能要求设 定[ K t] =3 500 N·m -1 , 在 MAT LAB 中的多目标有 约束函数 fgoalattain( ) 编程求解, 其结果如表 2 所 示 . 1—直流电磁铁;2—推杆;3—先导阀阀芯;4—先导阀阀套;5—先 导阀弹簧;6—主阀阀芯;7—主阀阀套;8—电磁换向阀阀体;9— 主阀控制弹簧 图 3 电磁换向阀结构图 Fig.3 Structure graph of a solenoid direction valve 表 1 弹簧参数 Tabl e 1 Paramet ers of the spiral spring 弹簧钢丝 材料密度, ρ/ ( kg·m -3 ) 密度标 准差, σρ/ ( kg·m -3 ) 剪切弹性 模量, G/ GPa 剪切弹性 模量标准差, σG / MPa 弹簧中径 标准差, σDx / mm 弹簧钢丝直 径的标准差, σd/ mm 弹簧有效圈 数允许偏差, σn/ 圈 弹簧自由 高度标准差, σH 0 / mm 7 980 16.52 78.4 163.5 0.003 3D 2 0.01 ±0.25 0.004 H0 表 2 优化结果比较 Table 2 Comparison of data bef ore and after optimization 项目 钢丝直径/ mm 弹簧中径/ mm 有效圈数/ 圈 弹簧质量/ kg 弹簧刚度/ ( N·mm -1 ) 弹簧自振 频率/Hz 弹簧质量 标准差/ 10 -4 弹簧刚度 标准差 弹簧自振频 率标准差 未优化 2.5 20 13.5 0.037 3 544.6 163.30 7.08 93.87 3.28 优化 2.3 18 13.5 0.030 3 483.3 185.48 5.49 95.25 3.74 由表 2 的结果对比可以知道, 优化后的弹簧刚 度与弹簧刚度的目标值更接近, ( K t -[ K t] ) 2 +σ 2 K t 的值减小, 弹簧自振频率得到显著提高, 弹簧质量有 所减轻, 因此可以认为稳健优化设计后的弹簧抗干 扰能力提高, 弹簧性能得到提升.图 4 是通过仿真 分析比较弹簧参数优化前后电磁阀主阀芯动态响应 特性 .由图可以明显地知道, 优化后的阀芯-弹簧质 量系统的动态响应特性有了提高, 调整时间缩短, 超 调量降低, 当然对于阀芯-弹簧质量系统的动态响 应特性不可能只调整弹簧性能参数就获得满意的结 果, 还必须考虑阀芯的质量以及黏性负载力等因素, 调整弹簧性能参数只能在有限的范围内提高系统的 动态响应特性. 由式( 1) 、( 2) 推导可以看出, 弹簧钢丝直径 d · 790 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷