y(51)=a11+a12m+…+a1nmn y(52)=a21m1+a22+ a2n7n p(Em)=mlm +am2m2+.+amnon 形式上可以记为 a11a2 a12a22 其中A是唯一确定的,称为φ在基51,52,…,5m与m,……,mn2下的矩阵 注2(1)(*)式表成立的充分必要条件是:在U中,9(5)在基m,m,…,m 下的坐标是A的第讠列 (2)在取定基51,52,…,5m与m,…,mn的前提下,线性映射φ唯一决定A∈ K×m满足(*)式,反之,对A∈Kmxm,由引理1知道,存在唯一φ∈L(V,U)满 足(*)式 定理1设V,W是数域K上线性空间,51,52,…,5n是V的一组基,mh,…,mn 是W的一组基,令 6:L(V,W)→K"mg→A 其中 y(51,52,…,Sm)=(mh,m,…,mn)A, 则是K-线性空间的同构映射 证明由注2(2)知,白是一一映射.下面证明6是线性映射 设(y)=A,(v)=B.则 (y+)(5)=y(52)+v(5) (an1m+a22+…+anmn)+(b1m1+…+bnmn)   ϕ(ξ1) = a11η1 + a12η2 + · · · + a1nηn ϕ(ξ2) = a21η1 + a22η2 + · · · + a2nηn · · · · · · ϕ(ξm) = am1η1 + am2η2 + · · · + amnηn (∗) ➑➒❘➓②➔▼ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)   a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · amn   ➈ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)An×m. (∗) ❖✮ A ✩❁❂❃❄✯✳→▼ ϕ P✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✖ η1, · · · , ηn ❜✯✗✘✻ ➋ 2 (1) (∗) ➒ ➍➣↔✯❨❩❬✱❭❪✩❼P U ✮✳ ϕ(ξi) P✿ η1, η2, · · · , ηn ❜✯↕➙✩ A ✯➛ i ➜ ✻ (2) P➝❄✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ✖ η1, · · · , ηn ✯➞➟❜✳ ✒✓✔✕ ϕ ❁❂❶❄ A ∈ Kn×m ➠➡ (∗) ➒✻➢❧✳① A ∈ Kn×m, ✾➌ ❋ 1 ➊➤✳ ➀ P❁❂ ϕ ∈ L(V, U) ➠ ➡ (∗) ➒✻ ➥❸ 1 ❹ V, W ✩✭❺ K ❘ ✒✓●❍✳ ξ1 , ξ2, · · · , ξm ✩ V ✯❂❵✿✳ η1 , · · · , ηn ✩ W ✯❂❵✿✳➦ Θ : L(V, W) → Kn×m ϕ 7→ A, ❖✮ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ❻ Θ ✩ K- ✒✓●❍✯■❏ ✔✕✻ ➃➄ ✾ ➧ 2(2) ➊ ✳ Θ ✩❂❂✔✕✻❜➏➇➉ Θ ✩ ✒✓✔✕✻ ❹ Θ(ϕ) = A, Θ(ψ) = B. ❻ (ϕ + ψ)(ξi) = ϕ(ξi) + ψ(ξi) = (ai1η1 + ai2η2 + · · · + ainηn) + (bi1η1 + · · · + binηn) 2