+b =(mh,n2,…,m) +b ain+ 所以 (y+v)(51,52,……,m)=(m,m2,…,m)(A+B) 故 e(y+)=A+B=()+(v) adil (a)(G)=a(9()=a(an+a2+…+amn)=(n,n2…,m)22 aain 所以 (ay)(1,52,…,5m)=(m,m2,……,mn)aA. e(ap)=aA= ae() 这样,是线性映射 推论1设V是m维线性空间,W是m维线性空间,则dimL(V,W)=mn 推论2设a在基51,52,……,5m下的坐标是X=(a1,a2,…,am),则p(a)在 基mh,…,mn下的坐标是AX 证明由a=(51,52,……,5m) ,设y(a)=(mn,m2,……,mn) 则 y(a)=a1y(51)+…+anmy(5m)=(y(51),……,9(5m)= (η1, η2, · · · , ηn)   ai1 + bi1 ai2 + bi2 · · · ain + bin   . ➅ ② (ϕ + ψ)(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)(A + B). ➨ Θ(ϕ + ψ) = A + B = Θ(ϕ) + Θ(ψ). ➩ (aϕ)(ξi) = a(ϕ(ξi)) = a(ai1η1 + ai2η2 + · · · + ainηn) = (η1, η2 · · · , ηn)   aai1 aai2 · · · aain   , ➅ ② (aϕ)(ξ1, ξ2, · · · , ξm) = (η1, η2, · · · , ηn)aA. ➈ Θ(aϕ) = aA = aΘ(ϕ). ✈➫✳ Θ ✩ ✒✓✔✕✻ ✷ ➭➯ 1 ❹ V ✩ m ➲✒✓●❍✳ W ✩ n ➲✒✓●❍✳❻ dimL(V, W) = mn. ➭➯ 2 ❹ α P✿ ξ1, ξ2, · · · , ξm ❜✯↕➙✩ X = (a1, a2, · · · , am) 0 , ❻ ϕ(α) P ✿ η1, · · · , ηn ❜✯↕➙✩ AX. ➃➄ ✾ α = (ξ1, ξ2, · · · , ξm)   a1 a2 . . . am   , ❹ ϕ(α) = (η1, η2, · · · , ηn)   b1 b2 . . . bn   . ❻ ϕ(α) = a1ϕ(ξ1) + · · · + amϕ(ξm) = (ϕ(ξ1), · · · , ϕ(ξm))   a1 . . . am   3