6.设 P=()a.Beck ()证明：P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间： (②)求P的维数与基 解)路阅mP-4基(（日)（后9）(9)( 7.设R为实数域在它自身上的线性空间，R+为第3题（④中的向量空间.证明：R与R+同构. 证明令 p:二 则(a)夕是映射 (b)p是单的：因为2”=2”←一n1=r2; ()p是满的：因为对任意的a∈R+,a=2o:,而log2a∈R,于是p(log2a=2w:=a四 (d)~保持运算 9(r1+r2)=2”+n=212”=21Φ2”=p(m)⊕p(r2 p(kr1)=2n=(2")*=ko2”=kop(n). 所以是同构 8.设F为全体形如 (1,x2,x3,…,工n…h工n=工n-1+工n-2,n≥3 的实数列所组成的集合，其加法与标量乘法的定义如第5题 ()证明：F构成R上的一个二维线性空间 (②)给出F的一个由等比数列所组成的基 (③)求斐波那契(Fibonacci)数列 (0.1.1,2.3.5.8.··） 的通项公式 证明：()F为R上线性空间的证明略。下面求F的维数 考察数列a1=(01,1,2,3,5,…)与2=(1,1,2,3,5，…)，显然a1,2∈F. (a)设11+202=0，则(2,1+2，k1+2,2k1+32,…)=0,所以2=0，从而k1=0.这说 明a1,a2线性无关 ()对任意的 g=(a1,a2,a3,…,an….an=an-1+an-2,n≥3 考家 y=(a2-a)a1+a1a2-B∈E 则y=(0,0,x4正4，…).因为y∈F,所以3=0+0-0，x4=4+0-0,由归纳法可知=0.这就证 明了B=(a2-a1)a1+a1a2.因此a1,a2构成F的基，dimF=2. (2)设有等比数列 (aag,ag2,）∈F 则对n≥2有ag”-ag-1+ag-2,从而=g+1,得到g=1±5 .21 6.  P = ½µ α β −β α ¶¯ ¯ ¯ ¯ α, β ∈ C ¾ . (1) ST: P []^DBU Du*2 R yHft&pq; (2) s P FBz. : (1) i. (2) dimR P = 4, z": µ 1 0 0 1 ¶ , µ i 0 0 −i ¶ , µ 0 1 −1 0 ¶ , µ 0 i i 0 ¶ . 7.  R "2 k8gEyt&pq, R + "= 3 a (4)  pq. ST: R B R + Cu. : I ϕ : R −→ R + r 7−→ 2 r J (a) ϕ F]; (b) ϕ : !" 2 r1 = 2r2 ⇐⇒ r1 = r2; (c) ϕ -: !"￾
 a ∈ R +, a = 2log2 a . % log2 a ∈ R, < ϕ(log2 a) = 2log2 a = a; (d) ϕ FG3g: ϕ(r1 + r2) = 2r1+r2 = 2r1 2 r2 = 2r1 ⊕ 2 r2 = ϕ(r1) ⊕ ϕ(r2); ϕ(kr1) = 2kr1 = (2r1 ) k = k ◦ 2 r1 = k ◦ ϕ(r1). #$ ϕ Cu. 8.  F "36 (x1, x2, x3, · · · , xn, · · ·), xn = xn−1 + xn−2, n > 3 2#B* T, <DBU DM= 5 a. (1) ST: F u* R yHfbFt&pq; (2) % F HfNVe#B*z; (3) sHI E (Fibonacci)  (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·) r:f). : (1) F " R yt&pqSTi. s F F.  α1 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, · · ·) B α2 = (1, 1, 2, 3, 5, · · ·),  α1, α2 ∈ F. (a)  k1α1 + k2α2 = 0, J (k2, k1 + k2, k1 + 2k2, 2k1 + 3k2, · · ·) = 0, #$ k2 = 0, C% k1 = 0. wX T α1, α2 t&,*. (b) ￾
 β = (a1, a2, a3, · · · , an, · · ·), an = an−1 + an−2, n > 3  γ = (a2 − a1)α1 + a1α2 − β ∈ F, J γ = (0, 0, x3, x4, · · ·). !" γ ∈ F, #$ x3 = 0 + 0 = 0, x4 = x3 + 0 = 0, NPD> γ = 0. woS Tr β = (a2 − a1)α1 + a1α2. !O α1, α2 u* F z, dim F = 2. (2) GVe (a, aq, aq2 , · · ·) ∈ F, J n > 2 G aqn = aqn−1 + aqn−2 , C% q 2 = q + 1, P q = 1 ± √ 5 2 . · 2 ·