第17卷第3期 微波学报 Vol.17 No.3 2001年9月 JOURNAL OF MICROWAVES Sep.2001 两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 General Expressions Between Unit Vectors of Two Curvilinear Orthogonal Coordinate Systems 易辉跃唐斌晏才宏周希朗 (上海交通大学电子工程系，上海200030) YI Huiyue.TANG Bin.YAN Caihong.ZHOU Xilang (Department of E lectronic Eng ineering,Shanghai J iaotong University,Shanghai 200030) 【摘要】本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系，并推广到更一般的情况一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知，利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵，进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。 关键词：正交曲线坐标系，单位矢量.变换矩阵 Abstract Concise expressions between unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system were derived in terms of different analytical ideas.These expressions were expanded to more general relations between unit vectors of two curvilinear orthogonal coordinate systems.W ith the help of these expressions,relations between unit vectors of a curvilinear orthogonal coordinate system and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system can easily be obtained as long as the single- value relations between these two coordinates are know n.By means of the relations between curvilinear orthogonal coordinates provided by other authors,the transform ation m atrixes betw een unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system were given. Key terms Curvilinear orthogonal coordinate,Unit vector,T ransform ation m atrix 一引 言 众所周知，根据求解实际电磁场边值问题的需要，人们已引出了十多种正交曲线坐标系， 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系，并提供了各种 坐标系的度量因子（拉梅系数）]，为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。然而，由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系和圆球坐标系）下求解，因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开，椭圆柱坐标系等十多种坐标 *收稿日期：2001-04-08：定稿日期：2001-07-30.两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式Ξ Γ ενεραλ Ε ξπρεσσιονσ Βετωεεν Υ νιτ ς εχτορσ οφ Τωο Χυρϖιλινεαρ Ορτηογοναλ Χοορδ ινατε Σψστεμ σ 易辉跃 唐 斌 晏才宏 周希朗 k上海交通大学电子工程系o上海 usssvsl ΨΙ Η υιψυεo ΤΑΝΓ Βινo ΨΑΝ Χαιηονγo ΖΗ ΟΥ Ξ ιλανγ kΔ επ αρτμ εντ οφ Ε λεχτρονιχ Ε νγ ινεερινγ oΣηανγ ηαι ϑιαοτονγ Υ νιϖερσιτψoΣηανγ ηαι usssvsl =摘要> 本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系o并推广到更一般的情况) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知o利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵o进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 关键词} 正交曲线坐标系o单位矢量o变换矩阵 Αβστραχτ} ≤ ²±¦¬¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶ ¤±§ ·«²¶¨ ²© ¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° º¨µ¨ §¨µ¬√¨§ ¬± ·¨µ° ¶ ²© §¬©©¨µ¨±·¤±¤¯¼·¬¦¤¯ ¬§¨¤¶q × «¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ º ¨µ¨ ¨¬³¤±§¨§ ·² ° ²µ¨ ª¨±¨µ¤¯ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ·º ² ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶q • ¬·« ·«¨ «¨¯³ ²©·«¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶o µ¨¯¤·¬²±¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¤¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¤±§·«²¶¨²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¦¤± ¨¤¶¬¯¼ ¥¨ ²¥·¤¬±¨§ ¤¶¯²±ª ¤¶·«¨ ¶¬±ª¯¨2 √¤¯∏¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ·«¨¶¨ ·º² ¦²²µ§¬±¤·¨¶ ¤µ¨ ®±²º ±q …¼ ° ¨¤±¶ ²© ·«¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶³µ²√¬§¨§¥¼ ²·«¨µ¤∏·«²µ¶o ·«¨·µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬¨¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¶¤±§ ·«²¶¨ ²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° º¨µ¨ ª¬√¨±q Κ εψ τερμ σ} ≤ ∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨o ±¬·√¨¦·²µo × µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬ 一!引 言 众所周知o根据求解实际电磁场边值问题的需要o人们已引出了十多种正交曲线坐标系o 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系!圆柱坐标系等坐标间的关系o并提供了各种 坐标系的度量因子k拉梅系数l1t2 o为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便∀ 然而o由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系k直角坐标系!圆柱坐标系和圆球坐标系l下求解o因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开o椭圆柱坐标系等十多种坐标 第 tz 卷第 v 期 usst 年 | 月 微 波 学 报 ’ • ‘„  ’ ƒ  Œ≤ • ’ • „ ∂ ∞≥ ∂ ²¯qtz ‘²qv ≥¨³qusst Ξ 收稿日期}usstp swp s{~定稿日期}usstp szp vs∀