第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 63 系中的矢量分析则用得不很多。因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切，故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用.本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础，采用不同分析思路，导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式，并将此推导思路推广到更一般情况一一任意 两种正交曲线坐标系（除直角坐标系外）单位矢量间的一般表达式， 二、理论分析 2.1正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中，p点的坐标为(，2,4)，p点在直角坐标系下的坐标为 (x,y,z),正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 1=81(x,y,z) X=G1(1,u2,u3) u2=82(x,y,z) 或 y=G2(,u2,3) (1) 43=83(x,9,2） z=G3(,2,l3) 则正交曲线坐标系单位矢量1,2,3和直角坐标系单位矢量x,y,z间的对应关系可表示为 (2) 其中M为变换矩阵。M可采用几何投影法、方向导数法导出。若坐标间满足较为简单的几何 关系，则采用这两种方法推导较为方便。但当坐标间的几何关系不太明确时，采用上述方法则 难以奏效。为此本文采用以下两种推导方法. 2.1.1偏导数公式法 若设p点与坐标原点间的位置矢量为元，p点的微分矢移为d工则在直角坐标系下，位置 矢量r可表示为 T=xx+yy+zz (3) 而正交曲线坐标系下，微分矢移T为 dI=dr=dhu+dku2+dbus=uhdu uzhaduz+ushsdus (4) 其中h,h2,h分别为相应坐标系的度量因子，它们一般是坐标的函数。若将上式写成增量形 式，则为 △r=1h1△1+u2h2△u2+u3hs△u3 (5) 保持u2和u:为常数（即△u2=0=△u),则 △立=h (6) △W1 对上式取极限，则有 ⊥立 u=h d (7) 类似地，可得到u2和u的表达式，从而得 -恶123 8系中的矢量分析则用得不很多∀ 因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切o故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用∀本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础o采用不同分析思路o导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式o并将此推导思路推广到更一般情况) ) 任意 两种正交曲线坐标系k除直角坐标系外l单位矢量间的一般表达式∀ 二!理论分析 2q1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中oπ 点的坐标为kυtoυuoυvloπ 点在直角坐标系下的坐标为 kξ oψoζlo正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υt € γ tkξ oψoζl υu € γ ukξ oψoζl υv € γ vkξ oψoζl 或 ξ € Γtkυtoυuoυvl ψ € Γukυtoυuoυvl ζ € Γvkυtoυuoυvl ktl 则正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 和直角坐标系单位矢量 ξ δ oψ δ oζ δ 间的对应关系可表示为 υ δ t υ δ u υ δ v € Μ ξ δ ψ δ ζ δ kul 其中 Μ 为变换矩阵∀ Μ 可采用几何投影法!方向导数法导出∀ 若坐标间满足较为简单的几何 关系o则采用这两种方法推导较为方便∀ 但当坐标间的几何关系不太明确时o采用上述方法则 难以奏效∀ 为此本文采用以下两种推导方法∀ uqtqt 偏导数公式法 若设 π 点与坐标原点间的位置矢量为 ρ ο oπ 点的微分矢移为 δ λϕ o则在直角坐标系下o位置 矢量 ρ ο 可表示为 ρ ο € ξ ξδ n ψψδ n ζζδ kvl 而正交曲线坐标系下o微分矢移 δ λϕ为 δ λϕ€ δ ρο € δ λtυ δ t n δ λuυ δ u n δ λvυ δ v € υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv kwl 其中 ηtoηuoηv 分别为相应坐标系的度量因子o它们一般是坐标的函数∀ 若将上式写成增量形 式o则为 ∃ρ ο € υ δ tηt∃ υt n υ δ uηu∃ υu n υ δ vηv∃ υv kxl 保持 υu 和 υv 为常数k即 ∃ υu€ s€ ∃ υvlo则 ∃ρ ο ∃ υt € υ δ tηt kyl 对上式取极限o则有 υ δ t € t ηt 5ρ ο 5υt kzl 类似地o可得到 υ δ u 和 υ δ v 的表达式o从而得 υ δ ι € t ηι 5ρ ο 5υι o ι € touov k{l 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yv