《力学》课程教学资源（参考资料）曲线坐标系——两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式.pdf_大学文库

第17卷第3期微波学报 Vol.17 No.3 2001年9月 JOURNAL OF MICROWAVES Sep.2001 两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 General Expressions Between Unit Vectors of Two Curvilinear Orthogonal Coordinate Systems 易辉跃唐斌晏才宏周希朗 (上海交通大学电子工程系，上海200030) YI Huiyue.TANG Bin.YAN Caihong.ZHOU Xilang (Department of E lectronic Eng ineering,Shanghai J iaotong University,Shanghai 200030) 【摘要】本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系，并推广到更一般的情况一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。只要一种正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知，利用这些关系式即可得到正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢量间的变换矩阵，进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。关键词：正交曲线坐标系，单位矢量.变换矩阵 Abstract Concise expressions between unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system were derived in terms of different analytical ideas.These expressions were expanded to more general relations between unit vectors of two curvilinear orthogonal coordinate systems.W ith the help of these expressions,relations between unit vectors of a curvilinear orthogonal coordinate system and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system can easily be obtained as long as the single- value relations between these two coordinates are know n.By means of the relations between curvilinear orthogonal coordinates provided by other authors,the transform ation m atrixes betw een unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system were given. Key terms Curvilinear orthogonal coordinate,Unit vector,T ransform ation m atrix 一引言众所周知，根据求解实际电磁场边值问题的需要，人们已引出了十多种正交曲线坐标系，给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系，并提供了各种坐标系的度量因子（拉梅系数）]，为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。然而，由于常见的电磁场边值问题多在三种坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系和圆球坐标系）下求解，因此正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开，椭圆柱坐标系等十多种坐标 *收稿日期：2001-04-08：定稿日期：2001-07-30

两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式Ξ Γ ενεραλ Ε ξπρεσσιονσ Βετωεεν Υ νιτ ς εχτορσ οφ Τωο Χυρϖιλινεαρ Ορτηογοναλ Χοορδ ινατε Σψστεμ σ 易辉跃唐斌晏才宏周希朗 k上海交通大学电子工程系o上海 usssvsl ΨΙ Η υιψυεo ΤΑΝΓ Βινo ΨΑΝ Χαιηονγo ΖΗ ΟΥ Ξ ιλανγ kΔ επ αρτμ εντ οφ Ε λεχτρονιχ Ε νγ ινεερινγ oΣηανγ ηαι ϑιαοτονγ Υ νιϖερσιτψoΣηανγ ηαι usssvsl =摘要> 本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系o并推广到更一般的情况) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 只要一种正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知o利用这些关系式即可得到正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢量间的变换矩阵o进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 关键词} 正交曲线坐标系o单位矢量o变换矩阵 Αβστραχτ} ≤ ²±¦¬¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶ ¤±§ ·«²¶¨ ²© ¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° º¨µ¨ §¨µ¬√¨§ ¬± ·¨µ° ¶ ²© §¬©©¨µ¨±·¤±¤¯¼·¬¦¤¯ ¬§¨¤¶q × «¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ º ¨µ¨ ¨¬³¤±§¨§ ·² ° ²µ¨ ª¨±¨µ¤¯ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ·º ² ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶q • ¬·« ·«¨ «¨¯³ ²©·«¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶o µ¨¯¤·¬²±¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¤¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¤±§·«²¶¨²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¦¤± ¨¤¶¬¯¼ ¥¨ ²¥·¤¬±¨§ ¤¶¯²±ª ¤¶·«¨ ¶¬±ª¯¨2 √¤¯∏¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ·«¨¶¨ ·º² ¦²²µ§¬±¤·¨¶ ¤µ¨ ®±²º ±q ¼ ° ¨¤±¶ ²© ·«¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶³µ²√¬§¨§¥¼ ²·«¨µ¤∏·«²µ¶o ·«¨·µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬¨¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¶¤±§ ·«²¶¨ ²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° º¨µ¨ ª¬√¨±q Κ εψ τερμ σ} ≤ ∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨o ±¬·√¨¦·²µo × µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬ 一!引言众所周知o根据求解实际电磁场边值问题的需要o人们已引出了十多种正交曲线坐标系o 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系!圆柱坐标系等坐标间的关系o并提供了各种坐标系的度量因子k拉梅系数l1t2 o为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便∀ 然而o由于常见的电磁场边值问题多在三种坐标系k直角坐标系!圆柱坐标系和圆球坐标系l下求解o因此正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开o椭圆柱坐标系等十多种坐标第 tz 卷第 v 期 usst 年 | 月微波学报 ƒ ≤ • ∂ ∞≥ ∂ ²¯qtz ²qv ≥¨³qusst Ξ 收稿日期}usstp swp s{~定稿日期}usstp szp vs∀

第17卷第3期易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 63 系中的矢量分析则用得不很多。因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密切，故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用.本文欲以正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础，采用不同分析思路，导出多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式，并将此推导思路推广到更一般情况一一任意两种正交曲线坐标系（除直角坐标系外）单位矢量间的一般表达式，二、理论分析 2.1正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系假设在一种正交曲线坐标系中，p点的坐标为(，2,4)，p点在直角坐标系下的坐标为 (x,y,z),正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 1=81(x,y,z) X=G1(1,u2,u3) u2=82(x,y,z) 或 y=G2(,u2,3) (1) 43=83(x,9,2） z=G3(,2,l3) 则正交曲线坐标系单位矢量1,2,3和直角坐标系单位矢量x,y,z间的对应关系可表示为 (2) 其中M为变换矩阵。M可采用几何投影法、方向导数法导出。若坐标间满足较为简单的几何关系，则采用这两种方法推导较为方便。但当坐标间的几何关系不太明确时，采用上述方法则难以奏效。为此本文采用以下两种推导方法. 2.1.1偏导数公式法若设p点与坐标原点间的位置矢量为元，p点的微分矢移为d工则在直角坐标系下，位置矢量r可表示为 T=xx+yy+zz (3) 而正交曲线坐标系下，微分矢移T为 dI=dr=dhu+dku2+dbus=uhdu uzhaduz+ushsdus (4) 其中h,h2,h分别为相应坐标系的度量因子，它们一般是坐标的函数。若将上式写成增量形式，则为 △r=1h1△1+u2h2△u2+u3hs△u3 (5) 保持u2和u:为常数（即△u2=0=△u),则 △立=h (6) △W1 对上式取极限，则有 ⊥立 u=h d (7) 类似地，可得到u2和u的表达式，从而得 -恶123 8

系中的矢量分析则用得不很多∀ 因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密切o故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用∀本文欲以正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础o采用不同分析思路o导出多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式o并将此推导思路推广到更一般情况) ) 任意两种正交曲线坐标系k除直角坐标系外l单位矢量间的一般表达式∀ 二!理论分析 2q1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系假设在一种正交曲线坐标系中oπ 点的坐标为kυtoυuoυvloπ 点在直角坐标系下的坐标为 kξ oψoζlo正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υt γ tkξ oψoζl υu γ ukξ oψoζl υv γ vkξ oψoζl 或 ξ Γtkυtoυuoυvl ψ Γukυtoυuoυvl ζ Γvkυtoυuoυvl ktl 则正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 和直角坐标系单位矢量 ξ δ oψ δ oζ δ 间的对应关系可表示为 υ δ t υ δ u υ δ v Μ ξ δ ψ δ ζ δ kul 其中 Μ 为变换矩阵∀ Μ 可采用几何投影法!方向导数法导出∀ 若坐标间满足较为简单的几何关系o则采用这两种方法推导较为方便∀ 但当坐标间的几何关系不太明确时o采用上述方法则难以奏效∀ 为此本文采用以下两种推导方法∀ uqtqt 偏导数公式法若设 π 点与坐标原点间的位置矢量为 ρ ο oπ 点的微分矢移为 δ λϕ o则在直角坐标系下o位置矢量 ρ ο 可表示为 ρ ο ξ ξδ n ψψδ n ζζδ kvl 而正交曲线坐标系下o微分矢移 δ λϕ为 δ λϕ δ ρο δ λtυ δ t n δ λuυ δ u n δ λvυ δ v υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv kwl 其中 ηtoηuoηv 分别为相应坐标系的度量因子o它们一般是坐标的函数∀ 若将上式写成增量形式o则为 ∃ρ ο υ δ tηt∃ υt n υ δ uηu∃ υu n υ δ vηv∃ υv kxl 保持 υu 和 υv 为常数k即 ∃ υu s ∃ υvlo则 ∃ρ ο ∃ υt υ δ tηt kyl 对上式取极限o则有 υ δ t t ηt 5ρ ο 5υt kzl 类似地o可得到 υ δ u 和 υ δ v 的表达式o从而得 υ δ ι t ηι 5ρ ο 5υι o ι touov k{l 第 tz 卷第 v 期易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yv

υ δ t t ηt 5Γt 5υt ξ δ n t ηt 5Γu 5υt ψ δ n t ηt 5Γv 5υt ζ δ ktzl 类似地o若微分矢移 δ λϕ只沿 υu 或 υv 方向o则可得到 υ δ u 和 υ δ vo其一般式即为式ktwl∀ 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系o如表 t 所示∀ 表 t 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυtoυuoυvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 Μ 圆柱坐标系 kρoΥoζl ξ ρ¦²¶Υ ψ ρ¶¬±Υ ζ ζ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ξ Ρ ¶¬±Η¦²¶Υ ψ Ρ ¶¬±Η¶¬±Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s 椭圆柱坐标系 kΝoΓoζl ξ π¦²¶«Ν¦²¶Γ ψ π ¶¬±«Ν¶¬±Γ ζ ζ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s p u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s s st 抛物柱坐标系 kΦoΩoζl ξ t u kΦu p Ωu l ψ ΦΩ ζ ζ t Φu n Ωu Φ Ω s p Ω Φ s s s Φu n Ωu 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ξ ΦΩΥ ψ ΦΩ t p Υu ζ t u kΦu p Ωu l ΩΥ Φu n Ωu Ω t p Υu Φu n Ωu Φ Φu n Ωu ΦΥ Φu n Ωu Φ t p Υu Φu n Ωu p Ω Φu n Ωu t p Υu p Υ s 双极坐标系 kΝoΗoζl ξ α¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ψ α¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ζ ζ tp ¦²¶Η¦²¶«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶«Νp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s s st 注}因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂o无法包括在表中o故被略去∀ 2q2 两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系设一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标仍为kυtoυuoυvlo度量因子为 ηtoηuoηv~另一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标为kυχtoυχuoυχvlo度量因子为 ηχtoηχuoηχvo两正交曲线坐标系中各坐第 tz 卷第 v 期易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yx

标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υχt κtkυtoυuoυvl υχu κukυtoυuoυvl υχv κvkυtoυuoυvl 或 υt Κ tkυχtoυχuoυχvl υu Κ ukυχtoυχuoυχvl υv Κ vkυχtoυχuoυχvl kt{l 则一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ χtoυ δ χuoυ δ χv 和另一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 间的对应关系具有式kul相同的形式∀ 在两种正交曲线坐标系下oπ 点的微分矢移 δ λϕ分别为 δ λϕ δ ρο υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv υ δ χtηχtδ υχt n υ δ χuηχuδ υχu n υ δ χvηχvδ υχv kt|l 将式ktxl∗ ktzl推广o有 υ δ χt t ηχt δ λϕ δ υχt ηtδ υtυ δ t n ηuδ υuυ δ u n ηvδ υvυ δ v ηχtδ υχt ηt ηχt 5Κ t 5υχt υ δ t n ηu ηχt 5Κ u 5υχt υ δ u n ηv ηχt 5Κ v 5υχt υ δ v kusl 类似地可得 υ δ χuoυ δ χv 的表达式o一般地o有 υ δ χι ηt ηχι 5Κ t 5υχι υ δ t n ηu ηχι 5Κ u 5υχι υ δ u n ηv ηχι 5Κ v 5υχι υ δ v kι touovl kutl 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系o如表 u 所示∀ 表 u 正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ρ Ρ ¶¬±Η Υ Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ρ ΦΩ Υ Υ ζ t u kΦu p Ωu l Ω Φu n Ωu s Φ Φu n Ωu Φ Φu n Ωu s p Ω Φu n Ωu s tp Υu s 长旋转椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ α¶¬±«Ν¶¬±Η Υ Υ ζ α¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η st s 扁椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ α¦²¶«Ν¦²¶Η Υ Υ ζ α¶¬±«Ν¶¬±Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ts yy 微波学报 usst 年 | 月

续表 u 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵双球坐标系 kΝoΗoΥl ρ α¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ Υ ζ α¶¬±ηΝ ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η sts 双环坐标系 kΝoΗoΥl ρ α¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ Υ ζ α¶¬±Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ¦²¶«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ρk¦²¶«Νp ¦²¶Ηl α¶¬±«Η s 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢量k记为 Α δ vl为中介o根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量k记为 Α δ t!Α δ ul与中介矢量间的关系o可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o即 Α δ t ΜtΑ δ v kuul Α δ u ΜuΑ δ v kuvl 其中 Μt!Μu 分别为第 t 种和第 u 种曲线坐标系与第 v 种曲线坐标系间的变换矩阵∀ 于是o由式kuul和kuvlo得 Α δ u ΜuΜp t t Α δ t ΜuΜ χtΑ δ t kuwl 其中 Μ χt 为 Μt 的转置矩阵∀ 作为例子o不妨取第 t!第 u 与第 v 种曲线坐标系分别为圆柱!圆球与直角坐标系o由表 t 中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 ρ δ Υ δ ζ δ Μt ξ δ ψ δ ζ δ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st ξ δ ψ δ ζ δ kuxl 而由表 t 中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 Ρ δ Η δ Υ δ Μu ξ δ ψ δ ζ δ ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s ξ δ ψ δ ζ δ kuyl 将式kuxl和kuyl提供的关系代入式kuwlo即得 Ρ δ Η δ Υ δ ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s ρ δ Υ δ ζ δ Μ ρ δ Υ δ ζ δ kuzl 其中变换矩阵 Μ 即为表 u 中第一栏的变换矩阵∀ 这样o由表 t 及表 u 中任何两种曲线坐标系第 tz 卷第 v 期易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yz

68 微波学报 2001年9月与直角坐标系或圆柱坐标系单位矢量间的关系，通过式(24)的矩阵运算即可推得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系！三、结语本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系，并将其解析表达式推广到更一般的情况一一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。这些表达式推导过程简捷，数学概念清晰，对无法利用几何投影法直接求单位矢量间关系的坐标系更显其优点.利用文献上己有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系以及两种正交曲线坐标系单位矢量间的变换矩阵。这些结果可直接用于不同坐标系间的矢量分析，这是因为不同坐标系中矢量的各分量间满足的关系式与单位矢量间满足的关系式在形式上完全相同（即变换矩阵相同）。参考文献易辉跃1971年，1992年毕业于西安电子科技大 1]P.M.Morse,H.Feshbach.Methods of 学电子工程系，现在上海交通大学攻读硕士学位，主 Theoretical Physics Part I).New York: 要研究方向为电磁场与微波技术、智能天线 M cG raw -H ill Com.,1953. 唐斌1968生，1989年毕业于西安电子科技大〔2〕林为干，符果行，邬琳若.刘仁厚著.电磁场理学电子工程系，现在上海交通大学攻读博士学位，主论（第二版）.北京：人民邮电出版社，1996. 要研究方向为电子对抗中的阵列信号处理」中国电子学会电磁波波速专家工作组第二次全体会议在北京大学举行 2001年7月20日，在北京大学电子学系举行了中国电子学会电磁波波速专家工作组(The Scientists W ork Team of Electro-m agnetic W ave Velocity,.Chinese Institute of Electronics))第二次全体会议，会议由专家工作组组长黄志淘教授主持，中国电子学会副秘书长李志武研究员参加了会议，会议的一项重要内容是讨论国内至今尚属空白的超光速、超慢光速的实验方案。近年来，玻色~爱因斯坦凝聚(BEC)和电磁诱导透明(Er)技术在国际上迅速发展.1999年，在美国工作的丹麦女科学家Lene Hau所报导的超慢光速实验，正是运用BEC和BT取得的成果。正常色散时折射率函数n(心在中心频率处的斜率大小将决定波速减慢的程度，本次会议选在北大电子学系举行，正是考虑到该系王义遒、陈徐宗研究组业已掌握了铯原子磁光阱(MOT)和铯原子光学粘团技术，在冷原子方面达到几k的水平，并对BEC开展了理论研究。工作组委员陈徐宗教授在他的报告“光在原子样品中传播速度研究的若干问题"中叙述了国际上的发展和国内（包括本研究组）的情况，委员们还参观了实验室中的激光冷却实验系统，对其表示了很大兴趣。大家对陈教授的工作给予肯定，并呼吁北京大学和国家有关方面给予更多更大的支持此外，会议就中国科学院电子学研究所和工作组10月初邀请旅美青年科学家王力军博士回国讲学一事进行讨论.2000年7月20日，国际著名刊物《Natu re》发表了王力军的论文“辅助增益的超光速传播”，此后，引起各国科学界的普遍关注，2000年底，美国《Scence New s)》将该实验评为当年物理学十大新闻之一，会议认为，讲学内容涉及到一些科学界广泛关注的问题，反映了国际上科学研究的前沿：组织此次讲学活动，对于国内的与电磁波波速相关的研究会有较大的促进作用：因此.要认真准备并组织好这项活动，会议对王力军提出的两个报告题目(“反常色散与反常群速度”、“量子光学干涉实验与量子通信”)表示认可。 (本刊编辑部)

与直角坐标系或圆柱坐标系单位矢量间的关系o通过式kuwl的矩阵运算即可推得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 三!结语本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系o 并将其解析表达式推广到更一般的情况) ) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 这些表达式推导过程简捷o数学概念清晰o对无法利用几何投影法直接求单位矢量间关系的坐标系更显其优点∀利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系以及两种正交曲线坐标系单位矢量间的变换矩阵∀ 这些结果可直接用于不同坐标系间的矢量分析o这是因为不同坐标系中矢量的各分量间满足的关系式与单位矢量间满足的关系式在形式上完全相同k即变换矩阵相同l∀ 参考文献 1t2 ° q q ²µ¶¨ o q ƒ ¨¶«¥¤¦« q ¨·«²§¶²© × «¨²µ¨·¬¦¤¯ °«¼¶¬¦¶ k°¤µ· lq ¨º ≠ ²µ®} ¦µ¤º 2 ¬¯¯ ≤ ²° qo t|xvq 1u2 林为干o符果行o邬琳若o刘仁厚著q电磁场理论k第二版lq北京}人民邮电出版社ot||yq 易辉跃 t|zt 年ot||u 年毕业于西安电子科技大学电子工程系o现在上海交通大学攻读硕士学位∀主要研究方向为电磁场与微波技术!智能天线∀ 唐斌 t|y{ 生ot|{| 年毕业于西安电子科技大学电子工程系o现在上海交通大学攻读博士学位∀主要研究方向为电子对抗中的阵列信号处理∀ 中国电子学会电磁波波速专家工作组第二次全体会议在北京大学举行 usst 年 z 月 us 日o在北京大学电子学系举行了中国电子学会电磁波波速专家工作组k× «¨ ≥¦¬¨±·¬¶·¶ • ²µ®×¨¤° ²©∞¯¨¦·µ²2° ¤ª±¨·¬¦• ¤√¨∂ ¨¯²¦¬·¼o≤ «¬±¨¶¨±¶·¬·∏·¨²©∞¯¨¦·µ²±¬¦¶l第二次全体会议∀ 会议由专家工作组组长黄志洵教授主持o中国电子学会副秘书长李志武研究员参加了会议∀ 会议的一项重要内容是讨论国内至今尚属空白的超光速!超慢光速的实验方案∀ 近年来o玻色2爱因斯坦凝聚k∞≤ l和电磁诱导透明k∞× l技术在国际上迅速发展∀t||| 年o在美国工作的丹麦女科学家 ¨±¨ ¤∏所报导的超慢光速实验o正是运用 ∞≤ 和 × 取得的成果∀ 正常色散时折射率函数 νkΞl在中心频率处的斜率大小将决定波速减慢的程度∀ 本次会议选在北大电子学系举行o正是考虑到该系王义遒!陈徐宗研究组业已掌握了铯原子磁光阱k × l和铯原子光学粘团技术o在冷原子方面达到几 Λ® 的水平o并对 ∞≤ 开展了理论研究∀ 工作组委员陈徐宗教授在他的报告/ 光在原子样品中传播速度研究的若干问题0中叙述了国际上的发展和国内k包括本研究组l的情况∀ 委员们还参观了实验室中的激光冷却实验系统o对其表示了很大兴趣∀ 大家对陈教授的工作给予肯定o并呼吁北京大学和国家有关方面给予更多更大的支持∀ 此外o会议就中国科学院电子学研究所和工作组 ts 月初邀请旅美青年科学家王力军博士回国讲学一事进行讨论∀ usss 年 z 月 us 日o国际著名刊物5¤·∏µ¨6发表了王力军的论文/ 辅助增益的超光速传播0∀ 此后o 引起各国科学界的普遍关注∀usss 年底o美国5≥¦¬¨±¦¨¨º ¶6将该实验评为当年物理学十大新闻之一∀会议认为o讲学内容涉及到一些科学界广泛关注的问题o反映了国际上科学研究的前沿~组织此次讲学活动o对于国内的与电磁波波速相关的研究会有较大的促进作用~因此o要认真准备并组织好这项活动∀ 会议对王力军提出的两个报告题目k/ 反常色散与反常群速度0!/ 量子光学干涉实验与量子通信0l表示认可∀ k本刊编辑部l y{ 微波学报 usst 年 | 月