第17卷第3期 微波学报 Vol.17 No.3 2001年9月 JOURNAL OF MICROWAVES Sep.2001 两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 General Expressions Between Unit Vectors of Two Curvilinear Orthogonal Coordinate Systems 易辉跃唐斌晏才宏周希朗 (上海交通大学电子工程系，上海200030) YI Huiyue.TANG Bin.YAN Caihong.ZHOU Xilang (Department of E lectronic Eng ineering,Shanghai J iaotong University,Shanghai 200030) 【摘要】本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系，并推广到更一般的情况一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知，利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵，进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。 关键词：正交曲线坐标系，单位矢量.变换矩阵 Abstract Concise expressions between unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system were derived in terms of different analytical ideas.These expressions were expanded to more general relations between unit vectors of two curvilinear orthogonal coordinate systems.W ith the help of these expressions,relations between unit vectors of a curvilinear orthogonal coordinate system and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system can easily be obtained as long as the single- value relations between these two coordinates are know n.By means of the relations between curvilinear orthogonal coordinates provided by other authors,the transform ation m atrixes betw een unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system were given. Key terms Curvilinear orthogonal coordinate,Unit vector,T ransform ation m atrix 一引 言 众所周知，根据求解实际电磁场边值问题的需要，人们已引出了十多种正交曲线坐标系， 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系，并提供了各种 坐标系的度量因子（拉梅系数）]，为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。然而，由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系和圆球坐标系）下求解，因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开，椭圆柱坐标系等十多种坐标 *收稿日期：2001-04-08：定稿日期：2001-07-30
两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式Ξ Γ ενεραλ Ε ξπρεσσιονσ Βετωεεν Υ νιτ ς εχτορσ οφ Τωο Χυρϖιλινεαρ Ορτηογοναλ Χοορδ ινατε Σψστεμ σ 易辉跃 唐 斌 晏才宏 周希朗 k上海交通大学电子工程系o上海 usssvsl ΨΙ Η υιψυεo ΤΑΝΓ Βινo ΨΑΝ Χαιηονγo ΖΗ ΟΥ Ξ ιλανγ kΔ επ αρτμ εντ οφ Ε λεχτρονιχ Ε νγ ινεερινγ oΣηανγ ηαι ϑιαοτονγ Υ νιϖερσιτψoΣηανγ ηαι usssvsl =摘要> 本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系o并推广到更一般的情况) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知o利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵o进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 关键词} 正交曲线坐标系o单位矢量o变换矩阵 Αβστραχτ} ≤ ²±¦¬¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶ ¤±§ ·«²¶¨ ²© ¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° º¨µ¨ §¨µ¬√¨§ ¬± ·¨µ° ¶ ²© §¬©©¨µ¨±·¤±¤¯¼·¬¦¤¯ ¬§¨¤¶q × «¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ º ¨µ¨ ¨¬³¤±§¨§ ·² ° ²µ¨ ª¨±¨µ¤¯ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ·º ² ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶q • ¬·« ·«¨ «¨¯³ ²©·«¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶o µ¨¯¤·¬²±¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¤¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¤±§·«²¶¨²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¦¤± ¨¤¶¬¯¼ ¥¨ ²¥·¤¬±¨§ ¤¶¯²±ª ¤¶·«¨ ¶¬±ª¯¨2 √¤¯∏¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ·«¨¶¨ ·º² ¦²²µ§¬±¤·¨¶ ¤µ¨ ®±²º ±q ¼ ° ¨¤±¶ ²© ·«¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶³µ²√¬§¨§¥¼ ²·«¨µ¤∏·«²µ¶o ·«¨·µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬¨¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¶¤±§ ·«²¶¨ ²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° º¨µ¨ ª¬√¨±q Κ εψ τερμ σ} ≤ ∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨o ±¬·√¨¦·²µo × µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬ 一!引 言 众所周知o根据求解实际电磁场边值问题的需要o人们已引出了十多种正交曲线坐标系o 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系!圆柱坐标系等坐标间的关系o并提供了各种 坐标系的度量因子k拉梅系数l1t2 o为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便∀ 然而o由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系k直角坐标系!圆柱坐标系和圆球坐标系l下求解o因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开o椭圆柱坐标系等十多种坐标 第 tz 卷第 v 期 usst 年 | 月 微 波 学 报 ƒ ≤ • ∂ ∞≥ ∂ ²¯qtz ²qv ≥¨³qusst Ξ 收稿日期}usstp swp s{~定稿日期}usstp szp vs∀
第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 63 系中的矢量分析则用得不很多。因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切，故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用.本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础，采用不同分析思路，导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式，并将此推导思路推广到更一般情况一一任意 两种正交曲线坐标系（除直角坐标系外）单位矢量间的一般表达式， 二、理论分析 2.1正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中，p点的坐标为(，2,4)，p点在直角坐标系下的坐标为 (x,y,z),正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 1=81(x,y,z) X=G1(1,u2,u3) u2=82(x,y,z) 或 y=G2(,u2,3) (1) 43=83(x,9,2） z=G3(,2,l3) 则正交曲线坐标系单位矢量1,2,3和直角坐标系单位矢量x,y,z间的对应关系可表示为 (2) 其中M为变换矩阵。M可采用几何投影法、方向导数法导出。若坐标间满足较为简单的几何 关系，则采用这两种方法推导较为方便。但当坐标间的几何关系不太明确时，采用上述方法则 难以奏效。为此本文采用以下两种推导方法. 2.1.1偏导数公式法 若设p点与坐标原点间的位置矢量为元，p点的微分矢移为d工则在直角坐标系下，位置 矢量r可表示为 T=xx+yy+zz (3) 而正交曲线坐标系下，微分矢移T为 dI=dr=dhu+dku2+dbus=uhdu uzhaduz+ushsdus (4) 其中h,h2,h分别为相应坐标系的度量因子，它们一般是坐标的函数。若将上式写成增量形 式，则为 △r=1h1△1+u2h2△u2+u3hs△u3 (5) 保持u2和u:为常数（即△u2=0=△u),则 △立=h (6) △W1 对上式取极限，则有 ⊥立 u=h d (7) 类似地，可得到u2和u的表达式，从而得 -恶123 8
系中的矢量分析则用得不很多∀ 因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切o故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用∀本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础o采用不同分析思路o导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式o并将此推导思路推广到更一般情况) ) 任意 两种正交曲线坐标系k除直角坐标系外l单位矢量间的一般表达式∀ 二!理论分析 2q1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中oπ 点的坐标为kυtoυuoυvloπ 点在直角坐标系下的坐标为 kξ oψoζlo正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υt γ tkξ oψoζl υu γ ukξ oψoζl υv γ vkξ oψoζl 或 ξ Γtkυtoυuoυvl ψ Γukυtoυuoυvl ζ Γvkυtoυuoυvl ktl 则正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 和直角坐标系单位矢量 ξ δ oψ δ oζ δ 间的对应关系可表示为 υ δ t υ δ u υ δ v Μ ξ δ ψ δ ζ δ kul 其中 Μ 为变换矩阵∀ Μ 可采用几何投影法!方向导数法导出∀ 若坐标间满足较为简单的几何 关系o则采用这两种方法推导较为方便∀ 但当坐标间的几何关系不太明确时o采用上述方法则 难以奏效∀ 为此本文采用以下两种推导方法∀ uqtqt 偏导数公式法 若设 π 点与坐标原点间的位置矢量为 ρ ο oπ 点的微分矢移为 δ λϕ o则在直角坐标系下o位置 矢量 ρ ο 可表示为 ρ ο ξ ξδ n ψψδ n ζζδ kvl 而正交曲线坐标系下o微分矢移 δ λϕ为 δ λϕ δ ρο δ λtυ δ t n δ λuυ δ u n δ λvυ δ v υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv kwl 其中 ηtoηuoηv 分别为相应坐标系的度量因子o它们一般是坐标的函数∀ 若将上式写成增量形 式o则为 ∃ρ ο υ δ tηt∃ υt n υ δ uηu∃ υu n υ δ vηv∃ υv kxl 保持 υu 和 υv 为常数k即 ∃ υu s ∃ υvlo则 ∃ρ ο ∃ υt υ δ tηt kyl 对上式取极限o则有 υ δ t t ηt 5ρ ο 5υt kzl 类似地o可得到 υ δ u 和 υ δ v 的表达式o从而得 υ δ ι t ηι 5ρ ο 5υι o ι touov k{l 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yv
64 微波学报 2001年9月 2.1.2全微分公式法 思路 因p点的微分矢移可表示为 -恶a+ -duz 证 us (9) 又考虑到式(1)及式(3)，于是，关于的偏导数为 区+ 恶 ·议+yan ·y+za 创+y +Z (10) 因，少，2是常矢量，故有 正-+9别 + (11) ou 又因 -恶·=川+'+1 (12) 所以 a证 41= L远， 六+★： (13) C 2和的表达式可类似得到，于是，其一般式为 近 1x1”1正 Or h u+h uy+h du Cui aG· 0G2, + 0G3 G22 (i=1,2,3) (14) 其中x=G1,y=G2,z=G3,而h= 1 思路正 正交曲线坐标系下，若微分矢移dT只沿w方向，即d2=0=du,则 =⊥d虹_xdx+dv+2d un=h du hidu (15) 又由多元函数的全微分公式，有 dx=dur+ 2duz+ 必du= d ou dun ,头，+=a部 Cu3 du (16) dz- 应du+ 色d+a 产d,=ed 将上式代入式(15)可得
uqtqu 全微分公式法 思路 } 因 π 点的微分矢移可表示为 δ λϕ δ ρο 5ρ ο 5υt δ υt n 5ρ ο 5υu δ υu n 5ρ ο 5υv δ υv k|l 又考虑到式ktl及式kvlo于是 ρ ο 关于 υt 的偏导数为 5ρ ο 5υt ξ 5ξ δ 5υt n ξ δ 5ξ 5υt n ψ 5ψ δ 5υt n ψ δ 5ψ 5υt n ζ 5ζ δ 5υt n ζ δ 5ζ 5υt ktsl 因 ξ δ oψ δ oζ δ 是常矢量o故有 5ρ ο 5υt ξ δ 5ξ 5υt n ψ δ 5ψ 5υt n ζ δ 5ζ 5υt kttl 又因 5ρ ο 5υt 5ρ ο 5υt Ø 5ρ ο 5υt tÙu 5ξ 5υt u n 5ψ 5υt u n 5ζ 5υt u tÙu ktul 所以 υ δ t 5ρ ο 5υt 5ρ ψ 5υt t ηt 5ξ 5υt ξ δ n t ηt 5ψ 5υt ψ δ n t ηt 5ζ 5υt ζ δ ktvl υ δ u 和 υ δ v 的表达式可类似得到o于是o其一般式为 υ δ ι 5ρ ο 5υι 5ρ ψ 5υι t ηι 5ξ 5υι ξ δ n t ηι 5ψ 5υι ψ δ n t ηι 5ζ 5υι ζ δ 5Γt 5υι ξ δ n 5Γu 5υι ψ δ n 5Γv 5υι ζ δ Ε v κ t 5Γκ 5υι u tÙu kι touovl ktwl 其中 ξ Γtoψ Γuoζ Γvo而 ηι Ε v κ t 5Γκ 5υι u tÙu ∀ 思路 } 正交曲线坐标系下o若微分矢移 δ λϕ只沿 υt 方向o即 δ υu s δ υvo则 υ δ t t ηt δ λϕ δ υt ξ δ δ ξ n ψ δ δ ψ n ζ δ δ ζ ηtδ υt ktxl 又由多元函数的全微分公式o有 δ ξ 5ξ 5υt δ υt n 5ξ 5υu δ υu n 5ξ 5υv δ υv 5Γt 5υt δ υt δ ψ 5ψ 5υt δ υt n 5ψ 5υu δ υu n 5ψ 5υv δ υv 5Γu 5υt δ υt δ ζ 5ζ 5υt δ υt n 5ζ 5υu δ υu n 5ζ 5υv δ υv 5Γv 5υt δ υt ktyl 将上式代入式ktxl可得 yw 微 波 学 报 usst 年 | 月
第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 65 1 0G1 0G2 1 0G3 un=h a" xhyh a (17) 类似地，若微分矢移dT只沿u2或u3方向，则可得到2和，其一般式即为式(14)。利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系，如表1所示。 表1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系（仅提供变换矩阵） 曲线坐标系 两者坐标间的关系 单位矢量间的变换矩阵M (1,u2,u3) (文献G]) x=rcosp 圆柱坐标系 cosp sinpo y=rsin sinp cosp 0 (,9z) 2=2 0 x=Rsinecosp sinecosp sin0s inp 圆球坐标系 cos0 y=Rsinesinp cosecosp coses in.sin (R,0,9 z=Rcose -sinp cos 0 2 sinhEcosn 2 coshEsinn x=pcoshEcosn cosh2g-cos2n cosh2. cos2n 椭圆柱坐标系 y=psinhsinn (n,z) J2 coshEsin” J2 s inhcos” 0 z=2 cosh2E·cos20 cosh2Ecos2h 0 0 1 0 抛物柱坐标系 x=5.9) 0 (℃单2) y=q y 2=2 0 0+VF 电小1·型 x ap +w +W J G+w 旋转抛物柱面坐标系 y=ψJ1.9 (℃中，9 」1.平 2=25.9) JG+取 JG+e 0 x= asinh 1·cos0 cosh sin0s inh 双极坐标系 cosh-cos0 coshξ·cos0 coshξ·cosθ -sines inh cos0 cosh· (5,0,z) y= cosh-cos cosh-cosθ 0 coshξcosd z 注：因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂，无法包括 在表中，故被略去。 2.2两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中p点的坐标仍为(，2，)，度量因子为，h2,h;另一种正交 曲线坐标系中p点的坐标为(u',u'2,'),度量因子为h',h',h',两正交曲线坐标系中各坐
υ δ t t ηt 5Γt 5υt ξ δ n t ηt 5Γu 5υt ψ δ n t ηt 5Γv 5υt ζ δ ktzl 类似地o若微分矢移 δ λϕ只沿 υu 或 υv 方向o则可得到 υ δ u 和 υ δ vo其一般式即为式ktwl∀ 利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系o如表 t 所示∀ 表 t 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυtoυuoυvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 Μ 圆柱坐标系 kρoΥoζl ξ ρ¦²¶Υ ψ ρ¶¬±Υ ζ ζ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ξ Ρ ¶¬±Η¦²¶Υ ψ Ρ ¶¬±Η¶¬±Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s 椭圆柱坐标系 kΝoΓoζl ξ 𦲶«Ν¦²¶Γ ψ 𠶬±«Ν¶¬±Γ ζ ζ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s p u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s s st 抛物柱坐标系 kΦoΩoζl ξ t u kΦu p Ωu l ψ ΦΩ ζ ζ t Φu n Ωu Φ Ω s p Ω Φ s s s Φu n Ωu 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ξ ΦΩΥ ψ ΦΩ t p Υu ζ t u kΦu p Ωu l ΩΥ Φu n Ωu Ω t p Υu Φu n Ωu Φ Φu n Ωu ΦΥ Φu n Ωu Φ t p Υu Φu n Ωu p Ω Φu n Ωu t p Υu p Υ s 双极坐标系 kΝoΗoζl ξ ᶬ±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ψ ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ζ ζ tp ¦²¶Η¦²¶«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶«Νp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s s st 注}因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂o无法包括 在表中o故被略去∀ 2q2 两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标仍为kυtoυuoυvlo度量因子为 ηtoηuoηv~另一种正交 曲线坐标系中 π 点的坐标为kυχtoυχuoυχvlo度量因子为 ηχtoηχuoηχvo两正交曲线坐标系中各坐 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yx
66 微波学报 2001年9月 标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 u',=k1(山1，u2,l3) h=K(u,2,u'3) u'2=k2(1,42,u3） 或 u2=K2(u1,u2,u3) (18) ',=k(1,42,3) W5=K3(u'1,h'2,') 则一种正交曲线坐标系单位矢量1，u'2,',和另一种正交曲线坐标系单位矢量u,2,间的 对应关系具有式(2)相同的形式。在两种正交曲线坐标系下，p点的微分矢移dT分别为 dT=dr=uhdu+uzhaduz+ushsdus u'th'idu+u'zh'adu'2+u'sh'du';(19) 将式(15)-(17)推广，有 =点品-d6++-会盛+虎盛+影盛 h'du (20) 类似地可得，，的表达式，一般地，有 立=异惑+片器+会0， (i=1,2,3) (21) 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系，如表2所示 表2正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系（仅提供变换矩阵） 曲线坐标系 两者坐标间的关系 (文献G) 单位矢量间的变换矩阵 (u,w'2,'g) r=Rsin sin 0 cos0 圆球坐标系 =p cos0.sin6 (R,09 z=Rcose 0 1 0 r=w C+W Jξ+F 旋转抛物柱面坐标系 =o (g中9 2= 2(5.) JG+w G+W 0 1.p coshEsin 0 sinhcos0 r=asinhsine 长旋转椭球坐标系 cosh-cos0 cosh cos p=p sinhEcos0 coshEs ine (ξ，0,9 0· z=acoshcos(θ cosh25·cos20 cosh'ξ.cos28 0 1 0 sinhEcosθ coshEs ine 0 cosh2-cos20 cosh-cos20 扁椭球坐标系 r=acoshcose -op coshEsine sinhEcos0 (5,09 0 z=asinhEsin cosh2ξ.cos20 cosh cos0 0 0
标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υχt κtkυtoυuoυvl υχu κukυtoυuoυvl υχv κvkυtoυuoυvl 或 υt Κ tkυχtoυχuoυχvl υu Κ ukυχtoυχuoυχvl υv Κ vkυχtoυχuoυχvl kt{l 则一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ χtoυ δ χuoυ δ χv 和另一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 间的 对应关系具有式kul相同的形式∀ 在两种正交曲线坐标系下oπ 点的微分矢移 δ λϕ分别为 δ λϕ δ ρο υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv υ δ χtηχtδ υχt n υ δ χuηχuδ υχu n υ δ χvηχvδ υχv kt|l 将式ktxl∗ ktzl推广o有 υ δ χt t ηχt δ λϕ δ υχt ηtδ υtυ δ t n ηuδ υuυ δ u n ηvδ υvυ δ v ηχtδ υχt ηt ηχt 5Κ t 5υχt υ δ t n ηu ηχt 5Κ u 5υχt υ δ u n ηv ηχt 5Κ v 5υχt υ δ v kusl 类似地可得 υ δ χuoυ δ χv 的表达式o一般地o有 υ δ χι ηt ηχι 5Κ t 5υχι υ δ t n ηu ηχι 5Κ u 5υχι υ δ u n ηv ηχι 5Κ v 5υχι υ δ v kι touovl kutl 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系o如表 u 所示∀ 表 u 正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ρ Ρ ¶¬±Η Υ Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ρ ΦΩ Υ Υ ζ t u kΦu p Ωu l Ω Φu n Ωu s Φ Φu n Ωu Φ Φu n Ωu s p Ω Φu n Ωu s tp Υu s 长旋转椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᶬ±«Ν¶¬±Η Υ Υ ζ ᦲ¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η st s 扁椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᦲ¶«Ν¦²¶Η Υ Υ ζ ᶬ±«Ν¶¬±Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ts yy 微 波 学 报 usst 年 | 月
第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 67 续表2 曲线坐标系 两者坐标间的关系 单位矢量间的变换矩阵 (,w'2,') (文献) asin0 s inhEs in 1·coshEcos0 r= coshcosθ 双球坐标系 cosh.cosθ 0 coshE-cosθ p= sinhEcos0.1 (5,99 0- sinhEsin as inhξ coshξ-cosθ cosh-cos0 2= cosh·cosd 0 0 asine 1·coshEcos0 sinhEsin0 r= coshξ-cos0 coshE.cosθ coshξ-cos0 双环坐标系 p=o sinhEsin coshξ-cos 0 coshEcos0-1 (E,0.9 coshξ.cos Z= coshξ·cos0 0 r(cosh·cos0) asinh 0 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系，以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢 量（记为A)为中介，根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量（记为A、A)与中介 矢量间的关系，可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系，即 A=MIA3 (22) A2=M2A; (23) 其中MM2分别为第1种和第2种曲线坐标系与第3种曲线坐标系间的变换矩阵。于是，由 式(22)和(23)，得 A2=M2MiA M2M'A (24) 其中M'为M,的转置矩阵 作为例子，不妨取第1、第2与第3种曲线坐标系分别为圆柱、圆球与直角坐标系，由表1 中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 r/ cosp =M y (25) 0 0 而由表1中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 x s inecos sinsinP cose 日 =M2 cosecos coses inp- (26) z sinp coso 0 7 将式(25)和(26)提供的关系代入式(24)，即得 R sin 0 cosθ 0 c0s00 M (27) 0 0 其中变换矩阵M即为表2中第一栏的变换矩阵。这样，由表1及表2中任何两种曲线坐标系
续表 u 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 双球坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ Υ ζ ᶬ±ηΝ ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η sts 双环坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η Υ Υ ζ ᶬ±Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η tp ¦²¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η p ¶¬±«Ν¶¬±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ¦²¶«Ν¦²¶Ηp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s ρk¦²¶«Νp ¦²¶Ηl ᶬ±«Η s 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢 量k记为 Α δ vl为中介o根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量k记为 Α δ t!Α δ ul与中介 矢量间的关系o可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系o即 Α δ t ΜtΑ δ v kuul Α δ u ΜuΑ δ v kuvl 其中 Μt!Μu 分别为第 t 种和第 u 种曲线坐标系与第 v 种曲线坐标系间的变换矩阵∀ 于是o由 式kuul和kuvlo得 Α δ u ΜuΜp t t Α δ t ΜuΜ χtΑ δ t kuwl 其中 Μ χt 为 Μt 的转置矩阵∀ 作为例子o不妨取第 t!第 u 与第 v 种曲线坐标系分别为圆柱!圆球与直角坐标系o由表 t 中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 ρ δ Υ δ ζ δ Μt ξ δ ψ δ ζ δ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st ξ δ ψ δ ζ δ kuxl 而由表 t 中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 Ρ δ Η δ Υ δ Μu ξ δ ψ δ ζ δ ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s ξ δ ψ δ ζ δ kuyl 将式kuxl和kuyl提供的关系代入式kuwlo即得 Ρ δ Η δ Υ δ ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s ρ δ Υ δ ζ δ Μ ρ δ Υ δ ζ δ kuzl 其中变换矩阵 Μ 即为表 u 中第一栏的变换矩阵∀ 这样o由表 t 及表 u 中任何两种曲线坐标系 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yz
68 微波学报 2001年9月 与直角坐标系或圆柱坐标系单位矢量间的关系，通过式(24)的矩阵运算即可推得任何两种正 交曲线坐标系单位矢量间的关系！ 三、结 语 本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系， 并将其解析表达式推广到更一般的情况一一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。这 些表达式推导过程简捷，数学概念清晰，对无法利用几何投影法直接求单位矢量间关系的坐标 系更显其优点.利用文献上己有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐 标系与直角坐标系以及两种正交曲线坐标系单位矢量间的变换矩阵。这些结果可直接用于不 同坐标系间的矢量分析，这是因为不同坐标系中矢量的各分量间满足的关系式与单位矢量间 满足的关系式在形式上完全相同（即变换矩阵相同）。 参考文献 易辉跃1971年，1992年毕业于西安电子科技大 1]P.M.Morse,H.Feshbach.Methods of 学电子工程系，现在上海交通大学攻读硕士学位，主 Theoretical Physics Part I).New York: 要研究方向为电磁场与微波技术、智能天线 M cG raw -H ill Com.,1953. 唐斌1968生，1989年毕业于西安电子科技大 〔2〕林为干，符果行，邬琳若.刘仁厚著.电磁场理 学电子工程系，现在上海交通大学攻读博士学位，主 论（第二版）.北京：人民邮电出版社，1996. 要研究方向为电子对抗中的阵列信号处理」 中国电子学会电磁波波速专家工作组 第二次全体会议在北京大学举行 2001年7月20日，在北京大学电子学系举行了中国电子学会电磁波波速专家工作组(The Scientists W ork Team of Electro-m agnetic W ave Velocity,.Chinese Institute of Electronics))第二次全体会议，会议由专 家工作组组长黄志淘教授主持，中国电子学会副秘书长李志武研究员参加了会议， 会议的一项重要内容是讨论国内至今尚属空白的超光速、超慢光速的实验方案。近年来，玻色~爱因斯坦 凝聚(BEC)和电磁诱导透明(Er)技术在国际上迅速发展.1999年，在美国工作的丹麦女科学家Lene Hau所 报导的超慢光速实验，正是运用BEC和BT取得的成果。正常色散时折射率函数n(心在中心频率处的斜率 大小将决定波速减慢的程度，本次会议选在北大电子学系举行，正是考虑到该系王义遒、陈徐宗研究组业已 掌握了铯原子磁光阱(MOT)和铯原子光学粘团技术，在冷原子方面达到几k的水平，并对BEC开展了理论 研究。工作组委员陈徐宗教授在他的报告“光在原子样品中传播速度研究的若干问题"中叙述了国际上的发 展和国内（包括本研究组）的情况，委员们还参观了实验室中的激光冷却实验系统，对其表示了很大兴趣。大 家对陈教授的工作给予肯定，并呼吁北京大学和国家有关方面给予更多更大的支持 此外，会议就中国科学院电子学研究所和工作组10月初邀请旅美青年科学家王力军博士回国讲学一事 进行讨论.2000年7月20日，国际著名刊物《Natu re》发表了王力军的论文“辅助增益的超光速传播”，此后， 引起各国科学界的普遍关注，2000年底，美国《Scence New s)》将该实验评为当年物理学十大新闻之一，会议认 为，讲学内容涉及到一些科学界广泛关注的问题，反映了国际上科学研究的前沿：组织此次讲学活动，对于国 内的与电磁波波速相关的研究会有较大的促进作用：因此.要认真准备并组织好这项活动，会议对王力军提 出的两个报告题目(“反常色散与反常群速度”、“量子光学干涉实验与量子通信”)表示认可。 (本刊编辑部)
与直角坐标系或圆柱坐标系单位矢量间的关系o通过式kuwl的矩阵运算即可推得任何两种正 交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 三!结 语 本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系o 并将其解析表达式推广到更一般的情况) ) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 这 些表达式推导过程简捷o数学概念清晰o对无法利用几何投影法直接求单位矢量间关系的坐标 系更显其优点∀利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐 标系与直角坐标系以及两种正交曲线坐标系单位矢量间的变换矩阵∀ 这些结果可直接用于不 同坐标系间的矢量分析o这是因为不同坐标系中矢量的各分量间满足的关系式与单位矢量间 满足的关系式在形式上完全相同k即变换矩阵相同l∀ 参 考 文 献 1t2 ° q q ²µ¶¨ o q ƒ ¨¶«¥¤¦« q ¨·«²§¶²© × «¨²µ¨·¬¦¤¯ °«¼¶¬¦¶ k°¤µ· lq ¨º ≠ ²µ®} ¦µ¤º 2 ¬¯¯ ≤ ²° qo t|xvq 1u2 林为干o符果行o邬琳若o刘仁厚著q电磁场理 论k第二版lq北京}人民邮电出版社ot||yq 易辉跃 t|zt 年ot||u 年毕业于西安电子科技大 学电子工程系o现在上海交通大学攻读硕士学位∀主 要研究方向为电磁场与微波技术!智能天线∀ 唐 斌 t|y{ 生ot|{| 年毕业于西安电子科技大 学电子工程系o现在上海交通大学攻读博士学位∀主 要研究方向为电子对抗中的阵列信号处理∀ 中国电子学会电磁波波速专家工作组 第二次全体会议在北京大学举行 usst 年 z 月 us 日o在北京大学电子学系举行了中国电子学会电磁波波速专家工作组k× «¨ ≥¦¬¨±·¬¶·¶ • ²µ®×¨¤° ²©∞¯¨¦·µ²2° ¤ª±¨·¬¦• ¤√¨∂ ¨¯²¦¬·¼o≤ «¬±¨¶¨±¶·¬·∏·¨²©∞¯¨¦·µ²±¬¦¶l第二次全体会议∀ 会议由专 家工作组组长黄志洵教授主持o中国电子学会副秘书长李志武研究员参加了会议∀ 会议的一项重要内容是讨论国内至今尚属空白的超光速!超慢光速的实验方案∀ 近年来o玻色2爱因斯坦 凝聚k ∞≤ l和电磁诱导透明k∞× l技术在国际上迅速发展∀t||| 年o在美国工作的丹麦女科学家 ¨±¨ ¤∏所 报导的超慢光速实验o正是运用 ∞≤ 和 × 取得的成果∀ 正常色散时折射率函数 νkΞl在中心频率处的斜率 大小将决定波速减慢的程度∀ 本次会议选在北大电子学系举行o正是考虑到该系王义遒!陈徐宗研究组业已 掌握了铯原子磁光阱k × l和铯原子光学粘团技术o在冷原子方面达到几 Λ® 的水平o并对 ∞≤ 开展了理论 研究∀ 工作组委员陈徐宗教授在他的报告/ 光在原子样品中传播速度研究的若干问题0中叙述了国际上的发 展和国内k包括本研究组l的情况∀ 委员们还参观了实验室中的激光冷却实验系统o对其表示了很大兴趣∀ 大 家对陈教授的工作给予肯定o并呼吁北京大学和国家有关方面给予更多更大的支持∀ 此外o会议就中国科学院电子学研究所和工作组 ts 月初邀请旅美青年科学家王力军博士回国讲学一事 进行讨论∀ usss 年 z 月 us 日o国际著名刊物5¤·∏µ¨6发表了王力军的论文/ 辅助增益的超光速传播0∀ 此后o 引起各国科学界的普遍关注∀usss 年底o美国5≥¦¬¨±¦¨¨º ¶6将该实验评为当年物理学十大新闻之一∀会议认 为o讲学内容涉及到一些科学界广泛关注的问题o反映了国际上科学研究的前沿~组织此次讲学活动o对于国 内的与电磁波波速相关的研究会有较大的促进作用~因此o要认真准备并组织好这项活动∀ 会议对王力军提 出的两个报告题目k/ 反常色散与反常群速度0!/ 量子光学干涉实验与量子通信0l表示认可∀ k本刊编辑部l y{ 微 波 学 报 usst 年 | 月
