第35卷第1期 大学物理 Vol.35 No.1 2016年1月 COLLEGE PHYSICS Jan.2016 教学研究 时空对称性与守恒律（上篇）一牛顿力学 赵凯华 (北京大学物理学院，北京100871) 摘要：艾梅·内特宜称，每一对称性对应一守恒律本文从时空平移和空间转动对称性导出牛顿力学中能量、动量、角动量 三大守恒定律 关键词：时空对称性：参考系；守恒定律 中图分类号：031 文献标识码：A 文章编号：1000-0712(2016)01-0001-03 在量子力学中对称性与守恒律之间的一般关系 律的表现形式为：体系能量的增加等于外力的功.这 是直截了当的，内特(E.Nother)早有论述.在经典力 一陈述通常称为“功能原理”，认为这里能量是不守 学中有关时空对称性与守恒律的关系，朗道 恒的狭义的“守恒”是能量不随时间变化要想回到 (L.D.Landau)在他有名的理论物理系列教材的《力 “守恒”的狭义概念，则需把外场算到时空的性质 学》卷山中已有精辟的论证该书是从作用量的变分 中，使时空成为不均匀的这便是本文的作法 出发的，根据惯性系时间平移、空间平移和空间转动 一般说来，这个势函数V不仅依赖于时空坐标 对称性找出拉格朗日量函数的特点，对封闭系分斑，，还会与质点的速度，4，…有关在非 推演出能量、动量和角动量和三大守恒定律用最小 相对论情形下作用力与速度有关的情形有三：一是 作用原理来论证不那么直观，本文将从牛顿力学的 带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力，二是在旋转参 通常表述形式来论证这一问题. 考系中的科里奥利力，三是摩擦力运动电荷之间的 宏观物体（包括可用牛顿力学处理的准宏观物 洛伦兹相互作用力不是超距的，要通过与电磁场交 体)之间的相互作用有弹性力、摩擦力、非理想气体 换动量来实现，不能在牛顿力学中处理，我们留到本 分子间的相互作用力（如范德瓦尔斯力）凝聚态物 文下篇中讨论.不过带电粒子在外电磁场中受力的 体的内应力，以及万有引力等.除万有引力外，前面 问题，可以在牛顿力学里讨论.旋转参考系可在考察 各项从微观本质上看，都不外乎是电磁相互作用，在 之列.耗散力引起的能量转化超出力学范围，我们将 非相对论近似的牛顿力学中这些力都可看作是超距 不在这里讨论 力或接触力，并表现在一个势函数U中（下文将引 按照Goldstein的经典名著《Classical Mechan- 人一个包含速度的广义势函数，可将摩擦力纳人其 ics》2]中所说的，有些力与速度有关时，系统的总势 中)，本文将U中的外场部分U“视为系统所处时空 函数要用一种广义势函数U来表示.第i个质点受 性质的表示，在相对理论中，外场反映在时空度规 的力F:与U的关系是 里.取牛顿近似时，时空平直，外场化为势函数.本文 F.=-aU,d/av (1) 讨论的是牛顿力学，外场的势函数似乎应不属于时 ar:dt\av. 空的性质，而时空总是平直的，即具有所有平移和转 现把U分为与速度无关部分U。和与速度有关部分 动的对称性，从而按照内特定理，三大守恒定律都成 △U,即U=U。+△U.对于在恒外磁场中的带电粒子， 立，本文就没有什么可讨论的了.然而这里讨论的是 非封闭系问题，所以才有外场.有外场时能量守恒定 △U=- 空4g=2u×8(2倒 收稿日期：2015-10-09 作者简介：赵凯华(1930一)，男，浙江杭州人，北京大学物理学院救授，2008年获教育部物理恭础救学指导委员会和中国物理学会教学 委员会颁发的“物理教学杰出成就奖
第 35卷第 l期 2016年 1月 大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS Vo1．35 No．1 Jan．2016 时 空对 称 性 与 守 恒 律 (上 篇 )—— 牛 顿 力 学 赵 凯华 (北 京 大 学 物理 学 院 ，北 京 100871) 摘要 ：艾梅 ·内特宣称 ，每一 对称 性对应一守恒律．本文从时空平移 和空间转 动对称 性导出牛顿力学中能量 、动量 、角动量 三大守恒定律． 关键词 ：时空对称性 ；参 考系 ；守恒定律 中 图 分 类 号 ：O 31 文 献 标 识 码 ：A 文 章 编 号 ：1000—0712(2016)01—0001—03 在量 子力 学 中对 称性 与 守恒律 之 间 的一般 关 系 是直 截 了 当的 ，内特 (E．N~ther)早 有 论 述 ．在经 典 力 学 中 有 关 时 空 对 称 性 与 守 恒 律 的 关 系 ，朗 道 (L．D．Landau)在他 有名 的理 论 物 理 系 列 教 材 的 《力 学》卷 ¨ 中 已有精 辟 的论证 ．该 书是 从作 用量 的变分 出发 的 ，根据 惯 性 系时 间平 移 、空 间平 移 和空 间转 动 对称 性 找 出拉格 朗 日量 函 数 的 特 点 ，对 封 闭 系分 别 推演 出能量 、动 量 和角动 量 和三 大 守 恒定 律 ．用 最小 作用 原 理来论 证 不 那 么 直 观 ，本 文 将从 牛 顿力 学 的 通 常表 述形 式来 论证 这一 问题． 宏 观物 体 (包 括 可 用 牛顿 力 学 处 理 的 准宏 观物 体 )之 间 的相 互 作 用 有 弹性 力 、摩 擦 力 、非 理 想气 体 分子 间 的相 互作 用 力 (如 范 德 瓦 尔斯 力 )、凝 聚 态物 体 的 内应力 ，以及 万 有 引 力 等．除 万 有 引 力 外 ，前 面 各项 从 微观 本质 上 看 ，都 不 外 乎是 电 磁相 互 作用 ．在 非相 对 论近 似 的牛 顿力学 中这些 力都 可看 作是 超距 力或 接 触力 ，并 表 现 在 一个 势 函 数 中 (下 文将 引 入一 个包 含 速度 的广 义 势 函 数 ，可 将 摩擦 力 纳入 其 中)．本 文将 中的外 场部 分 u朴视 为系统 所 处 时空 性 质 的表 示 ，在 相 对 理 论 中 ，外 场 反 映 在 时 空 度 规 里．取牛顿近似时，时空平直 ，外场化为势 函数．本文 讨 论 的是 牛顿 力 学 ，外 场 的 势 函数 似 乎应 不 属 于时 空 的性质 ，而时 空总是 平 直 的 ，即具 有所 有平 移 和转 动 的对称 性 ，从 而按 照 内特定 理 ，三大守 恒 定律 都成 立 ，本 文 就没 有什 么 可讨 论 的 了．然 而这 里 讨 论 的是 非封闭系问题 ，所 以才有外场．有外场时能量守恒定 律 的表 现形式 为 ：体系 能量 的增 加 等 于外 力 的功．这 一 陈述通 常称 为 “功能 原理 ”，认 为这 里 能 量是 不 守 恒 的．狭 义 的“守恒 ”是 能量 不 随时 间变 化．要 想 回到 “守 恒”的 狭 义 概 念 ，则 需 把 外 场 算 到 时 空 的 性 质 中 ，使时 空成 为不 均匀 的．这便 是 本文 的作 法． 一 般说来 ，这 个势 函数 不 仅依 赖 于 时 空坐 标 t，，。，， ，… ，还 会 与 质 点 的速 度 z，。， ，… 有关 ．在 非 相对 论 情形下 作 用力 与速 度 有 关 的情 形 有 三 ：一 是 带 电粒 子在磁 场 中受 到 的洛 伦 兹 力 ，二是 在旋 转 参 考 系 中的科里 奥 利力 ，三是 摩擦 力．运 动 电荷 之 间 的 洛伦 兹相 互作 用 力不 是 超 距 的 ，要 通 过 与 电磁 场 交 换 动量来 实 现 ，不 能在 牛顿 力学 中处 理 ，我们 留到本 文下 篇 中讨论 ．不 过带 电粒 子 在 外 电磁 场 中受 力 的 问题 ，可 以在牛顿力学里讨论．旋转参考系可在考察 之列 ．耗散 力 引起 的能 量转 化超 出力 学范 围 ，我们 将 不在 这 里讨论 ． 按 照 Goldstein的 经 典 名 著 《Classical Mechan． ics} 中所 说 的 ，有些 力 与速 度 有关 时 ，系 统 的 总势 函数 要 用一种 广 义 势 函数 来 表 示．第 i个 质 点 受 的力 F 与 的关 系是 F ：一 + f 1 (1) d ， d ＼a ／ 现把 分 为 与速度 无关 部分 和 与速 度 有关 部 分 AU，即 U=U。+AU．对于 在恒外 磁 场 中的带 电粒子 ， AU=一∑ q A· =∑ (rl× )· (2) 收 稿 日期 ：2015—10—09 作者简介 ：赵凯华 (1930一 )，男 ，浙 江杭 州人 ，北京 大学 物理 学 院教授 ，2008年获 教育 部物 理基 础教 学指 导委 员 会和 中 国物理 学会 教学 委员会颁发的“物理教学杰出成就奖”．
2 大学物理 第35卷 对于在旋转参考系中的粒子， 兹力和科里奥利力与速度垂直而不作功，对能量守 a0=-∑m,(×w） (3) 恒没有影响.) U。包含外场势和质点间的相互作用势，不仅通常的 2 动量守恒定律 两体作用势，还有各种可能的多体作用势.如果时间 将式(4)移项后再对i求和 均匀，U与t无关；如果空间均匀，则系统等时地整 体平移而各质点的速度不变，函数U不变；如果空 (9) 间对于某点各向同性，则系统等时地整体（包括各 设想所有质点作任何同一位移8l,将上式点乘以81， 质点的速度)绕该点旋转任一角度，函数U不变 dv. ,8l(10) 设质点i的速度为”，其加速度由相互作用 另外，整个质点系统平移8！时引起U的变化为 dvav d av 力F,产生F=midt=ar,dtav,. (4) 8u (11) 1能量守恒定律 而 8r=8l, 80=0 a 故 U.6l dr ar. 将式(4)乘以=，对所有质点求和 式(10)化为 )(5) dv, dr_ 8l=-8U (12) 式(5)左端：行Σm可 如果空间均匀，则8U=0,于是 是整个质点系统总动能的变化率势函数U的时间门门 变化率为 由于δ是任意的，故有 lrd+m (13) d/au aU 如果我们把 (14) dta八 a p.=m gu 定义为质点i的广义动量，则式(13)可写成 式(5)右端=口0 1 ,=0 (15) 式(5)化为 x成0-Σ驰。 aU 这就是质点系统的动量守恒定律，对于对磁场中的 (6) at 带电粒子，P,=m:0+q:A,这就是在磁场中的哈密顿 正则动量.只有磁场B均匀时，△U才具有空间均匀 在具有时间均匀的条件下，0 =0,式(6)化为 性，这时系统的总正则动量守恒.对于在旋转参考系 粉2减+-韶 中的质点，由于存在离心势，空间明显不均匀，动量 (7) 不可能守恒。 如果我们把U'=U-∑记、 ·v:定义为系统的势能， 3角动量守恒定律 现在要考虑的是空间各向同性但不一定具有平 将式(7)写成 1=0 (8) 移不变性的情形，假设空间对于某个不动点O各向 这就是机械能守恒定律，对于有外磁场或在旋转参 同性.我们取0为坐标原点，所有矢径都是从这里出 考系的情形，从式(2)或式(3)可以看出，∑·”， 发的，所有角动量也是相对这点而言的.空间绕某个 不动点的任何微转动，都可看作围绕某一瞬时轴的 =△U,即U'=U-△U=U。,它就是通常不依赖于速度 转动.（在理论力学教科书中，讨论刚体绕固定点转 的势能，其中包括静电势能或离心势能.（由于洛伦 动时都证明了这一结论.)用矢量δ2来表示这个角
2 大 学 物 理 第 35卷 对 于在 旋转 参考 系 中的粒子 ， AU=一∑ m (，． ×∞)‘口 (3) U。包含 外 场势和 质点 间的 相互 作用 势 ，不仅 通 常 的 两体作用势 ，还有各种可能的多体作用势．如果时间 均匀 ，U与 t无 关 ；如果 空 间均 匀 ，则 系统 等 时地 整 体平 移而各 质 点 的 速 度 不 变 ，函数 U不 变 ；如 果 空 间对 于某点 各 向 同性 ，则 系 统 等 时地 整 体 (包 括 各 质点 的速度 )绕该 点旋 转任一 角度 ，函数 U不变． 设 质点 的速度 为 ，其 加 速度 由相 互作 用 d ． 力F 产生 垫=一 + dt Fi-~mi d f~ Ovi 力F 产生 一 十二』 ) (4) t ) (4) 1 能量守恒定律 dr 将式 (4)乘 以 ，对所 有质 点求 和 m dvi 一 = 一 [ OU__d＼[ oU (5) 式(5)左端= d I 1 m 2) 是整个 质点 系统 总动 能 的变 化率 ．势 函数 U的 时 间 变化 率为 ： f 塑 + 1+ ： dt 【Or dt Ovi dt J Ot [ 一 + ( ‘v1)一 dtf~, c3vi) 】+ 式(5)右端=一 d( 一 OU· )+ 式 (5)化 为 (丢 m + 一 OU‘ )= OU(6) 在 具有 时间均 匀 的条 件下 ， OU：0，式 (6)化 为 ÷ 一 ㈩ 如果我们 把 u，_u一 OU 。 定 义为 系统 的势能 ， 将式(7)写成 (丢 m +u )=。 (8) 这 就是 机械 能守 恒 定 律．对 于 有 外 磁 场 或在 旋 转 参 考系的情形，从式(2)或式(3)可以看出，∑ oU．z， =AU，即 U U-AU=U。，它就 是通 常 不 依赖 于 速 度 的势 能 ．其 中包 括 静 电势 能 或 离心 势 能．(由于 洛伦 兹力 和科里 奥利 力 与速 度 垂 直 而不 作 功 ，对 能量 守 恒没有 影 响．) 2 动 量 守恒 定 律 将 式 (4)移项后 再对 i求 和 一 = 一 设想 所有质点作任何 同一位移 8z，将上式点乘 以 8z， d 一 = 一 另外 ，整 个质 点 系统平移 8z时引起 U的变 化 为 8 = 6r + … 而 6， =8Z， 8 =0 故 8u： —OU． 8z ,-y dri 式 (10)化为 m 一 u 如果 空间均 匀 ，则 8 =0，于是 m = 。 由于 8z是 任意 的 ，故有 [∑( 一 =。 c 13 女口果 我f『]把 p z，7z 一_OU (14) 定 义为质 点 i的广义 动量 ，则式 (13)可 写成 { P =0 (15) d￡ 。 、 这就 是质 点系 统 的 动 量 守 恒定 律 ．对 于对 磁 场 中的 带 电粒子 ，P =m +giA，这 就是 在 磁场 中的 哈密 顿 正 则动量 ．只有 磁 场 均 匀 时 ，△ 才 具 有 空 间均 匀 性 ，这时 系统 的总 正则动量 守 恒．对 于在旋 转 参考 系 中的质 点 ，由于存 在 离 心势 ，空 间 明显 不均 匀 ，动量 不 可能守 恒． 3 角动量守恒定律 现 在要 考虑 的是空 间各 向 同性 但不 一定 具有平 移不变 性 的情形 ，假设 空 间对 于某 个 不 动点 0各 向 同性．我们取 0为 坐标原 点 ，所 有矢 径都是 从这 里 出 发 的 ，所有 角动量 也是 相对 这 点而 言 的．空 间绕 某个 不动 点的任 何微 转 动 ，都 可看 作 围绕某 一 瞬 时 轴 的 转动 ．(在 理论 力学 教 科 书 中 ，讨 论 刚体 绕 固定 点 转 动 时都证 明 了这 一结 论．)用矢 量 6 来 表示 这 个 角
第1期 赵凯华：时空对称性与守恒律（上篇）一牛顿力学 位移，矢量的方向就是瞬时轴的方向，微转动引起矢 ·δ2=-8U, 径的增量为 r=8xr (16) 这公式对所有质点的位矢r:均适用，即8r:=82xr 或 (21) 对于势函数U与速度有关的情况，式(4)移项 品×A,0=-0 后点乘以8r:, 式中p:即式(14)中定义的广义动量， d aU 在U与速度无关的情形下，P:=m:0,空间围绕 dr m.v.v ·8r:= ·8r 0点球对称，8U对于任意方向的82都等于0， 两端各加一项- ·8u, 式(21)化为 av. 盘2x(=0 (22) d aU or av. aU 这就是整个质点系统相对于O点的角动量守恒定律. dr m.v.av ·8r:+ ar. 0U 若U与速度有关，臂如有均匀恒定外磁场B,或 (17) 者在恒定角速度ω的转动参考系中，空间不可能相 对所有质点求和，按式(11)，右端等于-8U 对于一点球对称，但绕B或w的方向轴对称，这时 对于沿此轴方向的任何转动δ2来说8U=0,从而式 ·δ0=-0(18) (21)化为 式(18)左端第一项 ·B=0, d(m,v) d(mo） dt d -·8r:= ·82xr= dt (23) d(m:o:） r X- dt ·δ2= 《×卫可称为系统的广义角动量在空间具有 d[rx(m,门·8n-0x(m,·8 轴对称性的时候，只有广义角动量沿轴的分量守恒。 致谢：作者特别感谢陈熙谋教授和朱如曾教授 品x(]:6n 在本文写作过程中提供的宝贵意见。 d(8r) 参考文献： 式(18)左端第三项中8u= d 82 [1]朗道，栗弗席兹力学[M].5版.北京：高等教有出版 于是二、三项为 社，2007：第二章 aU ·n [2]Goldstein H.Classical Mechanics M].2 ed.Addison- Wesley Pub Co,1980:1-5. ·82×r,+0·δ2×u [3]AP弗伦奇.牛顿力学·第二册[M].郭敦仁、何成钧， av 译，北京：人民教育出版社，1982：147. d/aU [4]赵凯华，罗蔚茵新概念物理教程·力学[M].北京：高 (20) 等教育出版社，1995：第二章，2.1节. 将式(19)、式(20)代入式(18)，我们得到 Spacetime symmetries and conservation laws (I -Newtonian mechanics ZHAO Kai-hua (School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China) Abstract:Emmy Nother declared that to every kind of symmetry there is a corresponding conservation law.In the present paper,the conservation laws of energy,momentum and angular momentum in Newtonian mechanics are derived from the translational and rotational spacetime symmetries. Key words:spacetime symmetries;frame of reference;conservation laws
第 1期 赵凯华 ：时空对称性与守恒律 (上篇 )—— 牛顿 力学 3 位 移 ，矢量 的方 向就是 瞬 时轴 的方 向．微 转 动 引起 矢 径 的增 量 为 8r=812xr (16) 这 公式 对 所有 质 点 的位 矢 ri均适 用 ，即 8r =8f2xr 对 于势 函数 U与 速 度 有 关 的 情 况 ，式 (4)移 项 后 点 乘 以 8r ， cgvi =一 OU 两端 各 加一 项 一_OU ． 8 ， (ml )，8， 一 ，8 一( ‘8p 。8 ) (17) 对所 有 质点 求 和 ，按 式 (11)，右端 等于 -SU z／ 一 一 咖]=制 (18 式 (18)左端 第 一项 ——— 。 ，f ——— ‘6』 × ： ．8 ： ． 6 ： ‘ [ri×(，孔 。)]·81"1一 ×(m )·8 = )]．8 式 (18)左 端 第 三 项 中 8 ： dt 于是 二 、三项 为 一 d(oU) 一 OU·8 = (19) = 8 ， 一 d(OU)·8axr ．+a v ·8． × ]= __d[ OU ×， )一 × ) 将 式 (19)、式 (20)代 入式 (18)，我们 得 到 d 一 ， 或 ×p；‘8n ：一8u (21) 式 中P 即式 (14)中定 义 的广义 动量． 在 U与 速 度 无关 的情 形 下 ，P =m ，空 间 围绕 0点 球 对 称 ，8u 对 于 任 意 方 向 的 8 都 等 于 0， 式 (21)化为 d ， ×(m )=0 (22) 这就是整个质点系统相对于 O点 的角动量守恒定律． 若 U与速 度有 关 ，譬 如有 均 匀恒定 外磁 场 B，或 者 在恒 定 角速度 的转 动 参考 系 中 ，空 间不 可 能 相 对 于一 点 球对 称 ，但 绕 B 或 的 方 向轴对 称 ，这 时 对 于沿此 轴方 向的任何 转动 8 来 说 8U=0，从而 式 (21)化 为 ( d ，。 )。曰=0， 或 ( r ×p )‘ 。 c 23 式 中 ×P 可称为 系统 的广义角动量．在空间具有 轴对称性 的时候 ，只有广义 角动量沿轴的分量守恒． 致谢 ：作者 特 别感 谢 陈熙 谋教 授 和 朱 如 曾教 授 在本 文写 作过 程 中提供 的宝 贵意见 ． 参考文献 ： 朗 道 ，栗弗 席兹．力学 [M]．5版．北 京 ：高 等教 育 出版 社 ，2007：第 二 章 ． Goldstein H．Classical Mechanics[M]．2 ed．Addison— W esley Pub Co，1980：1—5． A．P．弗伦奇．牛顿 力学 -第 二册 [M]．郭敦仁 、何 成钧 ， 译 ．北 京 ：人 民教 育 出版 社 ，1982：147． 赵凯华 ，罗蔚茵 ．新概念 物理教程 ·力学 [M]．北京 ：高 等教育出版社 ，1995：第二 章 ，2．1节． Spacetime symmetries and conservation laws(I) ---- -- ·· —-—-- ---— — Newtonian mechanics ZHAO Kai—hua (School of Physics，Peking University，Beijing 100871，China) Abstract：Emmy N~ther declared that to every kind of symmetry there is a corresponding conservation taw． In the present paper，the conservation laws of energy，momentum and angular momentum in Newtonian mechanics are derived from the translational and rotational spacetime symmetries． Key words：spacetime symmetries；frame of reference；conservation laws 1 2 3 4 、 ， O 2 ， L