第六章 统计物理基本假设 6.1引言 6.2 Coarse graining 6.3 Coarse graining的一个简单例子 6.4统计基本假设
第六章 统计物理基本假设 6.1 引言 6.2 Coarse graining 6.3 Coarse graining 的一个简单例子 6.4 统计基本假设
参考资料 。周子舫&曹烈兆，《热学、热力学与统计物理》（下），科学 出版社 o.H.B.Callen,"Thermodynamics and an Introduction to Ther- mostatistics",2nd ed,Willey oR.K.Pathria P.D.Beale,"Statistical Mechanics",3rd ed,Academic Press 2021年第四版
参考资料 周子舫 & 曹烈兆，《热学、热力学与统计物理》（下），科学 出版社 H. B. Callen, “Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics”, 2nd ed, Willey R. K. Pathria & P. D. Beale, “Statistical Mechanics”, 3rd ed, Academic Press 2021 年第四版
统计物理研究对象 Q研究对象：包含大量微观粒子的宏观体系 。力学、统计力学和热力学的关系 学科 热力学 统计物理 力学 对象 多体 多体 单体或少体 描述方法 宏观参量描述 分布函数 微观参量：i,P1 关系 dU Tds-pdv 2 正则方程ii=0p,H
统计物理研究对象 研究对象：包含大量微观粒子的宏观体系 力学、统计力学和热力学的关系 学科 热力学 统计物理 力学 对象 多体 多体 单体或少体 描述方法 宏观参量描述 分布函数 微观参量：𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 关系 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 ?? ⇐== 正则方程 𝒓¤𝑖 = 𝜕𝒑𝑖 𝐻
统计物理的出发点：还原论 。宏观物体由微观粒子组成 分子：原子：电子、原子核：质子、中子：夸克 。微观粒子服从力学规律 单粒子体系如此，两粒子体系如此， Q宏观性质/过程可以从相应的微观性质/过程构造出来 露求和或者求平均 r还原论目前基本上没有太大异议，但在Boltzmann建立统 计物理时，由于原子论还没有确立，很多科学家持反对意见
统计物理的出发点：还原论 宏观物体由微观粒子组成 分子；原子；电子、原子核；质子、中子；夸克 · · · 微观粒子服从力学规律 单粒子体系如此，两粒子体系如此，· · · 宏观性质/过程可以从相应的微观性质/过程构造出来 ☞求和或者求平均 ☞ 还原论目前基本上没有太大异议，但在 Boltzmann 建立统 计物理时，由于原子论还没有确立，很多科学家持反对意见
还原论的难点 Q复杂 N~1023无法求解，即便可以求解也无法理解 Q完全求解有1000个粒子的系统的运动需要的经典计算机的 体积比宇宙还大 。即便我们可以借助量子计算机来模拟，在不做简化的情况下， 如果我们最多不过是重现自然，对理解自然没有帮助。 细 借助统计规律来简化 。概念上的困难 Q宏观和微观性质和过程非常不同 微观：小、快、混乱 宏观：大、慢、均匀 Q孤立的微观系统是决定性的，不具备随机性 经典系统里，完全被初态和方程决定 量子系统里，不涉及测量时，也是被初态和方程决定 蜜为何可以使用统计方法？ Q可逆性 微观力学规律是可逆的：时间反演对称性y→-v,t→-1 宏观热力学规律是不可逆的：孤立系统中的熵不减小 霉如何在微观和宏观之间搭桥？
还原论的难点 复杂 𝑁 ∼ 1023 无法求解，即便可以求解也无法理解 完全求解有 1000 个粒子的系统的运动需要的经典计算机的 体积比宇宙还大 即便我们可以借助量子计算机来模拟，在不做简化的情况下， 如果我们最多不过是重现自然，对理解自然没有帮助。 ☞ 借助统计规律来简化 概念上的困难 宏观和微观性质和过程非常不同 微观：小、快、混乱 宏观：大、慢、均匀 孤立的微观系统是决定性的，不具备随机性 经典系统里，完全被初态和方程决定 量子系统里，不涉及测量时，也是被初态和方程决定 ☞为何可以使用统计方法？ 可逆性 微观力学规律是可逆的：时间反演对称性 𝒗 → −𝒗, 𝑡 → −𝑡 宏观热力学规律是不可逆的：孤立系统中的熵不减小 ☞如何在微观和宏观之间搭桥？
6.2 Coarse graining P.W Anderson,"More is different",Science 177,393 (1972) Q 不同尺度/分辨率下，对物理的描述和规律不同 不同空间分辨率：黑板/电脑屏幕/手机屏幕 Q肉眼：~1mm,平整的平面 Q显微镜：1m,不平整、但连续 Q电子显微镜：~1A,不连续 路灯：地面~1m,离散；从山上、飞机上~l00m,连续 不同时间分辨率：24帧/秒，电影/视频vs连环画/漫画 Q不同尺度下的物理 物理分支 空间尺度 时间/能量尺度 核 1≈10-15m T~l/c ~10-23s E~h/T 1MeV 原子 1~1A T~l/c~10-18sE~10eV 固体 1≥10A x~l/y~10-12-10-15sE~1meV-1eV 化学 流体 1~1um T ~Ims 弹性体
6.2 Coarse graining P. W Anderson, “More is different”, Science 177, 393 (1972) 不同尺度/分辨率下，对物理的描述和规律不同 不同空间分辨率：黑板/电脑屏幕/手机屏幕 肉眼：∼ 1mm，平整的平面 显微镜：∼ 1𝜇m，不平整、但连续 电子显微镜：∼ 1Å，不连续 路灯：地面 ∼ 1m，离散；从山上、飞机上 ∼ 100m，连续 不同时间分辨率：24 帧/秒，电影/视频 vs 连环画/漫画 不同尺度下的物理 物理分支 空间尺度 时间/能量尺度 核 𝑙 ∼ 10−15m 𝜏 ∼ 𝑙/𝑐 ∼ 10−23s 𝐸 ∼ ℏ/𝜏 ∼ 1MeV 原子 𝑙 ∼ 1Å 𝜏 ∼ 𝑙/𝑐 ∼ 10−18 s 𝐸 ∼ 10eV 固体 𝑙 ≥ 10Å 𝜏 ∼ 𝑙/𝑣 ∼ 10−12 − 10−15 s 𝐸 ∼ 1meV–1eV 化学 流体 𝑙 ∼ 1𝜇m 𝜏 ∼ 1ms 弹性体
Coarse graining P.W Anderson,"More is different",Science 177,393 (1972) Q不同尺度/分辨率下，对物理的描述和规律不同 。大尺度物理是小尺度物理在长时间、大空间下的平均结果 忽略无法观测的细节Coarse graining Q密度的coarse graining 体积元：△V多a3-单个原子占据体积：时间间隔T多a/v-微 观特征时间 Q.压强的coarse graining dpilddr △A △A产a2,Ta/w
Coarse graining P. W Anderson, “More is different”, Science 177, 393 (1972) 不同尺度/分辨率下，对物理的描述和规律不同 大尺度物理是小尺度物理在长时间、大空间下的平均结果 忽略无法观测的细节 ☞ Coarse graining 密度的 coarse graining 𝜌(𝒓, 𝑡) = ∑ 𝑖 𝛿[𝒓 − 𝒓𝑖(𝑡)] = 1 𝜏 1 Δ𝑉 ˆ 𝑡+𝜏 𝑡 Δ𝑁(𝑡 0 ) Δ𝑉 𝑑𝑡0 体积元：Δ𝑉 𝑎 3–单个原子占据体积；时间间隔 𝜏 𝑎/𝑣–微 观特征时间 压强的 coarse graining 𝑝 = 𝐹 Δ𝐴 = 1 𝜏 ˆ 𝑡+𝜏 𝑡 ∑ 𝑖 𝑑 𝒑𝑖 /𝑑𝑡 Δ𝐴 𝑑𝑡0 Δ𝐴 𝑎 2，𝜏 𝑎/𝑣
Coarse graining 经过coarse graining之后，会涌现出(emerge)和微观现象、 规律完全不同的宏观现象和规律 Q涨落很大的物理量变为空间上和时间上均平缓变化的物理 量。 快速、无规运动变为缓慢、有规律的运动。 Q微观性质不同的系统可以表现出相同或者类似的宏观性质。 描述宏观性质的参数之间满足相同的关系，不同的微观性质 可能仅仅体现在宏观参数的不同。 例如：热力学关系
Coarse graining ☞经过 coarse graining 之后，会涌现出（emerge）和微观现象、 规律完全不同的宏观现象和规律 涨落很大的物理量变为空间上和时间上均平缓变化的物理 量。 快速、无规运动变为缓慢、有规律的运动。 微观性质不同的系统可以表现出相同或者类似的宏观性质。 描述宏观性质的参数之间满足相同的关系，不同的微观性质 可能仅仅体现在宏观参数的不同。 例如：热力学关系
决定性和随机性 0=O(S)=O(S(t) 只依赖于（微观）状态的物理量 o0-o(sedr-∑ O(S(t+i/M 测量值=平均值 1 单个系统多次测量 =∑oas0 ns(t):测量到状态S的次数 (S,t):t时刻测量到状态S的 =∑0SS.0 “几率”。(S,)由系统和初态 严格确定，没有任何随机性。 如果我们可以找到某个p(S,),使得我们计算得到的O(t)和 实验测量值（在宏观尺度下）无法区分，则可以用P来取代P。 s用随机系统的p代替决定性的p来简化计算→Lapalace观点
决定性和随机性 𝑂 = 𝑂(𝑆) = 𝑂(𝑆(𝑡)) ✞ ✝ ☎ 只依赖于（微观）状态的物理量 ✆ 𝑂¯(𝑡) = 1 𝜏 ˆ 𝑡+𝜏 𝑡 𝑂(𝑆(𝜏))𝑑𝜏 = 1 𝜏 ∑ 𝑖=1,𝑀 𝑂(𝑆(𝑡 + 𝑖𝜏/𝑀)) 𝜏 𝑀 ✞ ✝ ☎ 测量值＝平均值 ✆ = 1 𝑀 ∑ 𝑖=1,𝑀 𝑂(𝑆(𝑡 + 𝑖𝜏/𝑀)) ✞ ✝ ☎ 单个系统多次测量 ✆ = 1 𝑀 ∑ 𝑆 𝑂(𝑆)𝑛𝑆 (𝑡) ✞ ✝ ☎ ✆ 𝑛𝑆 (𝑡)：测量到状态 𝑆 的次数 = ∑ 𝑆 𝑂(𝑆)𝜌˜(𝑆, 𝑡) ✓ ✒ ✏ ✑ 𝜌˜(𝑆, 𝑡)：𝑡 时刻测量到状态 S 的 “几率”。𝜌˜(𝑆, 𝑡) 由系统和初态 严格确定，没有任何随机性。 ☞如果我们可以找到某个 𝜌(𝑆, 𝑡)，使得我们计算得到的 𝑂¯(𝑡) 和 实验测量值（在宏观尺度下）无法区分，则可以用 𝜌 来取代 𝜌˜。 ☞用随机系统的 𝜌 代替决定性的 𝜌˜ 来简化计算 ⇒ Lapalace 观点
决定性和随机性 00=∑0S9aS0-=0S9p(S.1 用随机系统的P代替决定性的来简化计算 在一般情况下p的形式如何我们并不清楚，并不简化太多问 题 零 在特殊的孤立系统中（处于热力学平衡态下），可以假设所 有可能的微观态等几率出现←等几率假设 利用这一假设，计算得到的物理量和平衡态热力学得到的结 果相同 很多人并不喜欢这种引入几率的方法一为了得到更加严格的 理论（以及回避当时对分子论的反对意见），Gibbs引入了系综 理论
决定性和随机性 𝑂¯(𝑡) = ∑ 𝑆 𝑂(𝑆)𝜌˜(𝑆, 𝑡) ' ∑ 𝑆 𝑂(𝑆)𝜌(𝑆, 𝑡) ☞ 用随机系统的 𝜌 代替决定性的 𝜌˜ 来简化计算 ☞ 在一般情况下 𝜌 的形式如何我们并不清楚，并不简化太多问 题 ☞ 在特殊的孤立系统中（处于热力学平衡态下），可以假设所 有可能的微观态等几率出现 ⇐ 等几率假设 ☞ 利用这一假设，计算得到的物理量和平衡态热力学得到的结 果相同 ☞很多人并不喜欢这种引入几率的方法 ⇒ 为了得到更加严格的 理论（以及回避当时对分子论的反对意见），Gibbs 引入了系综 理论