第七章几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1Bose/Fermi统计 72物理量 7.3弱简并理想气体 7.4Bose-Einstein凝聚 7.5光子声子气体 7.6强简并Fermi气体
第七章 几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1 Bose/Fermi 统计 7.2 物理量 7.3 弱简并理想气体 7.4 Bose-Einstein 凝聚 7.5 光子/声子气体 7.6 强简并 Fermi 气体
7.9Bose/Fermi统计 0. Fermi和Bose统计的基本假设和步骤和Boltzmann统计完全 相同 Q.确定单粒子的本征问题 Q从单粒子态构造出系统的微观态 Q利用等几率假设求出分布{a}对应的系统微观态数目2({a}) Q利用等几率假设，找到最可几态{ā}，此即热力学平衡态 Q不同的是，从单粒子态构造出系统微观态时需要考虑量子全 同性 Q经典粒子可以区分，不需要考虑全同性 Fermion/Boson不能区分，需要考虑全同性 露 由测不准原理，粒子的空间位置不是在某个确定的点上，而 是有一定展宽→波函数 当两个粒子波函数有足够多的重叠时，无法区分二者 全同粒子非定域系nonlocalized; 非全同粒子=→定域系ocalized
7.9 Bose/Fermi 统计 Fermi 和 Bose 统计的基本假设和步骤和 Boltzmann 统计完全 相同 确定单粒子的本征问题 从单粒子态构造出系统的微观态 利用等几率假设求出分布 {𝑎𝑙 } 对应的系统微观态数目 Ω({𝑎𝑙 }) 利用等几率假设，找到最可几态 {𝑎¯𝑙 }，此即热力学平衡态 不同的是，从单粒子态构造出系统微观态时需要考虑量子全 同性 经典粒子可以区分，不需要考虑全同性 Fermion/Boson 不能区分，需要考虑全同性 ☞ 由测不准原理，粒子的空间位置不是在某个确定的点上，而 是有一定展宽 ⇒ 波函数 ☞ 当两个粒子波函数有足够多的重叠时，无法区分二者 ☞ 全同粒子 ⇒ 非定域系/nonlocalized； 非全同粒子 ⇒ 定域系/localized
Bose/Fermi统计 单粒子问题 地s〉=e,(V)lws)》 iw1a〉=e(Vlw1a》 a=1,2,·,w1 分布函数{a}→2(E,N,V,{a}):∑1a1=N; ∑1aE1=E o Fermion粒子不可区分，但是不能有两个粒子处于相同的态： s每个能级中有ω1个可能的态，选出a,个态放置粒子 台1个格子放1个小球，每个格子最多只能放一个球 E,,vta》=Πa.a)=Πc8 2
Bose/Fermi 统计 单粒子问题 ℎˆ|𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑠 (𝑉)|𝜓𝑠⟩ ℎˆ|𝜓𝑙𝛼⟩ = 𝜀𝑙(𝑉)|𝜓𝑙𝛼⟩ 𝛼 = 1, 2, · · · , 𝜔𝑙 分布函数 {𝑎𝑙} ⇒ Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙})： Í 𝑙 𝑎𝑙 = 𝑁; Í 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 = 𝐸 Fermion 粒子不可区分，但是不能有两个粒子处于相同的态： ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，选出 𝑎𝑙 个态放置粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子最多只能放一个球 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) = Ö 𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Ö 𝑙 𝐶 𝑎𝑙 𝜔𝑙
Bose/Fermi统计 Boson粒子不可区分 s每个能级中有w1个可能的态，安置a1个粒子 一ω个格子放个小球，每个格子可以放任意个球 → w1-1个挡板和a1个小球，挑出w1-1个位置放置挡板 nE,xv.a》-Πta,o-Πci-=Πcga- 小som 23…wE
Bose/Fermi 统计 Boson 粒子不可区分 ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，安置 𝑎𝑙 个粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子可以放任意个球 ⇒ 𝜔𝑙 − 1 个挡板和 𝑎𝑙 个小球，挑出 𝜔𝑙 − 1 个位置放置挡板 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) = Ö 𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Ö 𝑙 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1 = Ö 𝑙 𝐶 𝑎𝑙 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1
Bose/Fermi统计 Boson粒子不可区分 s每个能级中有ω1个可能的态，安置a叫个粒子 台w,个格子放a1个小球，每个格子可以放任意个球 s递推法 y(0,)=1 y(1,w)=1 y(a4,1)=1 y(al,w1+1)=y(al,wn)+y(al-1,wn)+·+y(1,w1)+y(0,w1) →y(a,w)=Cucl +a-1 露系数展开 (1+x+x2+x3+…)×…×(1+x+x2+x3+…)w1项 =∑yk,w (1-x)w= y(al,ω)=C"-l '+aL-1
Bose/Fermi 统计 Boson 粒子不可区分 ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，安置 𝑎𝑙 个粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子可以放任意个球 ☞递推法 𝛾(0, 𝜔𝑙) = 1 𝛾(1, 𝜔𝑙) = 𝜔𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 1) = 1 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙 + 1) = 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) + 𝛾(𝑎𝑙 − 1, 𝜔𝑙) + · · · + 𝛾(1, 𝜔𝑙) + 𝛾(0, 𝜔𝑙) ⇒ 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1 ☞系数展开 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + · · · ) × · · · × (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + · · · )☞ ✞ ✝ ☎ ✆ 𝜔𝑙 项 = Õ∞ 𝑘=0 𝛾(𝑘, 𝜔𝑙)𝑥 𝑘 (1 − 𝑥) −𝜔𝑙 = Õ∞ 𝑘=0 𝛾(𝑘, 𝜔𝑙)𝑥 𝑘 ⇒ 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1
最可几态 o.Fermion wi! nn=∑a,ow=∑a-a 假设 w1,a1,w1-a1>1 ∑arhw-w）-(alna-al 并非必要。从系 综理论可以不需 -[(w-a)ln(w1-a)-(w-a)]} 要这些假设。 6In=>[-6al Inat+6ai In(wi-at)] 0=6N=∑ia,0=6E=∑9ia 0=6In-a6N-B6E =>6ar-Inal+In(w-an)-a-Beil In -al =a+Ber w a1= al ea+Bsr+1
最可几态 Fermion ln Ω = Õ 𝑙 ln 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Õ 𝑙 ln 𝜔𝑙! 𝑎𝑙!(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙)! = Õ 𝑙 {(𝜔𝑙 ln𝜔𝑙 − 𝜔𝑙) − (𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙) − [(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙) ln(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙) − (𝜔𝑙 − 𝑎𝑙)]} 𝛿 ln Ω = Õ 𝑙 [−𝛿𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 + 𝛿𝑎𝑙 ln(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙)] 0 = 𝛿𝑁 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙 0 = 𝛿𝐸 = Õ 𝑙 𝜀𝑙𝛿𝑎𝑙 0 = 𝛿 ln Ω − 𝛼𝛿𝑁 − 𝛽𝛿𝐸 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙[− ln 𝑎𝑙 + ln(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙) − 𝛼 − 𝛽𝜀𝑙] ln 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 𝑎𝑙 = 𝛼 + 𝛽𝜀𝑙 ⇒ 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 + 1 ★ ✧ ✥ ✦ 假设 𝜔𝑙 , 𝑎𝑙 , 𝜔𝑙−𝑎𝑙 ≫ 1 并非必要。从系 综理论可以不需 要这些假设
最可几态 o Boson ta-(.) (wr+a)! wila! 产∑{a+a0nar+al）-a,+aml 假设 wl,al,w1+a1≥1 -(wIInwi-wi)-(ai ln ai-al) 同样不是必要 6ln2=∑[6alh(w+a）-da1lhal 的。 0=6N=∑a0=6E=∑ 0=6n2-a6N-B6E =∑ah(u+a）-na-&-Bel wi+al =a+BEI a1= ea+Bsi-1
最可几态 Boson ln Ω = Õ 𝑙 ln 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Õ 𝑙 ln (𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 − 1)! (𝜔𝑙 − 1)!𝑎𝑙! ≃ Õ 𝑙 ln (𝜔𝑙 + 𝑎𝑙)! 𝜔𝑙!𝑎𝑙! ≃ Õ 𝑙 { [(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) ln(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) − (𝜔𝑙 + 𝑎𝑙)] − (𝜔𝑙 ln𝜔𝑙 − 𝜔𝑙) − (𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙)} 𝛿 ln Ω = Õ 𝑙 [𝛿𝑎𝑙 ln(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) − 𝛿𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙] 0 = 𝛿𝑁 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙 0 = 𝛿𝐸 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙𝜀𝑙 0 = 𝛿 ln Ω − 𝛼𝛿𝑁 − 𝛽𝛿𝐸 = Õ 𝑙 𝛿𝑎𝑙[ln(𝜔𝑙 + 𝑎𝑙) − ln 𝑎𝑙 − 𝛼 − 𝛽𝜀𝑙] ln 𝜔𝑙 + 𝑎𝑙 𝑎𝑙 = 𝛼 + 𝛽𝜀𝑙 ⇒ 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 − 1 ✛ ✚ ✘ ✙ 假设 𝜔𝑙 , 𝑎𝑙 , 𝜔𝑙+𝑎𝑙 ≫ 1 同 样 不 是 必 要 的
最可几态 T 最可几分布 Wl a1= +1 Fermion;-1 Boson ea+p&l±1 01 epB(8-μ)+1 a=-Bμ al 1 1 as= Wl ea+p&±1eB(ss-u）±1 态5上的平均粒子数 有两个未知参数，B 需要从粒子数和能量来确定→a=α(E,N,V),B=B(E,N,V) →数学上非常困难→变换参量
最可几态 ☞ 最可几分布 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 ± 1 ✞ ✝ ☎ ✆ +1 Fermion；−1 Boson = 𝜔𝑙 𝑒 𝛽( 𝜀𝑙−𝜇) + 1 𝛼 = −𝛽𝜇 𝑎𝑠 = 𝑎𝑙 𝜔𝑙 = 1 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑠 ± 1 = 1 𝑒 𝛽( 𝜀𝑠−𝜇) ± 1 ✞ ✝ ☎ 态 ✆ 𝑠 上的平均粒子数 ☞ 有两个未知参数 𝛼, 𝛽 需要从粒子数和能量来确定⇒ 𝛼 = 𝛼(𝐸, 𝑁, 𝑉), 𝛽 = 𝛽(𝐸, 𝑁, 𝑉) ⇒ 数学上非常困难 ⇒ 变换参量
巨配分函数 0=6ln2-a6N-BδE InIn(E,N,V)=InR(E,N,V,ai}) dIn=adN BdE a=a(E,N,V)=( 0In B=B(E.N.V)= 0In ln三=n三(B,,V)=n2-aN-BE dlng=-Edβ-Nda
巨配分函数 0 = 𝛿 ln Ω − 𝛼𝛿𝑁 − 𝛽𝛿𝐸 ln Ω = ln Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) = ln Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) 𝑑 ln Ω = 𝛼𝑑𝑁 + 𝛽𝑑𝐸 𝛼 = 𝛼(𝐸, 𝑁, 𝑉) = 𝜕 ln Ω 𝜕𝑁 𝐸𝑉 𝛽 = 𝛽(𝐸, 𝑁, 𝑉) = 𝜕 ln Ω 𝜕𝐸 𝑁𝑉 ln Ξ = ln Ξ(𝛽, 𝛼, 𝑉) = ln Ω − 𝛼𝑁 − 𝛽𝐸 𝑑 ln Ξ = −𝐸 𝑑𝛽 − 𝑁 𝑑𝛼
巨配分函数 o.Fermion InE=InE(B,a,V)=InQ-aN-BE (or ino--(ar inai-ap) -[(w1-a)ln(w-a)-(w-a)]-(a+Be)a} = w1-ar in ai (a+Bei)ait 1-a wi-al @r wlea+Bsr a1=e+f+1 w1-a1= ea+Bs+1 wr =1+e-a-B6 a =e-a-Bs w1-a1 w1-a1 n三=∑or n1+e-8a）+aa+Be)-ac+Be) =∑o+e0-8a
巨配分函数 Fermion ln Ξ = ln Ξ(𝛽, 𝛼, 𝑉) = ln Ω − 𝛼𝑁 − 𝛽𝐸 = Õ 𝑙 {𝜔𝑙 ln𝜔𝑙 − 𝜔𝑙 − (𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙) − [(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙) ln(𝜔𝑙 − 𝑎𝑙) − (𝜔𝑙 − 𝑎𝑙)] − (𝛼 + 𝛽𝜀)𝑎𝑙} = Õ 𝑙 n 𝜔𝑙 ln 𝜔𝑙 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 − (𝛼 + 𝛽𝜀𝑙)𝑎𝑙 o 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 + 1 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 𝑒 𝛼+𝛽 𝜀𝑙 + 1 𝜔𝑙 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 = 1 + 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝑎𝑙 𝜔𝑙 − 𝑎𝑙 = 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 ln Ξ = Õ 𝑙 h 𝜔𝑙 ln 1 + 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 + 𝑎𝑙(𝛼 + 𝛽𝜀𝑙) − 𝑎𝑙(𝛼 + 𝛽𝜀𝑙) i = Õ 𝑙 𝜔𝑙 ln 1 + 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙
