第七章几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1近独立子系组成的系统 7.2 Boltzmann统计 7.3 物理量 7.4 Boltzmann因子 7.5两能级系统 7.6单原子气体热容、能量均分原理 7.7双原子热容 7.8准经典近似
第七章 几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1 近独立子系组成的系统 7.2 Boltzmann 统计 7.3 物理量 7.4 Boltzmann 因子 7.5 两能级系统 7.6 单原子气体热容、能量均分原理 7.7 双原子热容 7.8 准经典近似
统计基本假设 【一】等几率假设 孤立系统中，每个可能的微观态出现几率相同 【二】热力学平衡态是最可几态Boltzmann几率法 几率法是Boltzmann和Maxwell最早发展起来的，主要是 用于处理气体。 这种系统中粒子之间的相互作用比较小(《动能等)，可以 忽略不计。 在此系统中，我们可以把系统的微观态用单粒子微观态表示 出来，并通过分布函数得到宏观态和微观态之间的对应关系。 露利用等几率假设，得到不同宏观态发生的几率，进一步得到 最可几态，也就是热力学平衡态
统计基本假设 【一】 等几率假设 孤立系统中，每个可能的微观态出现几率相同 【二】 热力学平衡态是最可几态 ☞Boltzmann 几率法 ☞ 几率法是 Boltzmann 和 Maxwell 最早发展起来的，主要是 用于处理气体。 ☞ 这种系统中粒子之间的相互作用比较小（≪ 动能等），可以 忽略不计。 ☞ 在此系统中，我们可以把系统的微观态用单粒子微观态表示 出来，并通过分布函数得到宏观态和微观态之间的对应关系。 ☞ 利用等几率假设，得到不同宏观态发生的几率，进一步得到 最可几态，也就是热力学平衡态
7.1近独立子系组成的系统 Q宏观系统由微观粒子组成 Q近独立子系组成的系统 考虑系统运动时，可以把系统分成不同的子系统，这些子系 统之间相互作用可以忽略不计 N A=i(rp,+A=∑pl i=1 -1 子系可以是组成系统的粒子、或者粒子的某个自由度、或者 是元激发 子系台粒子 单原子气体 器 +∑in 多原子分子气体 v)-oogingyral 声子
7.1 近独立子系组成的系统 宏观系统由微观粒子组成 近独立子系组成的系统 考虑系统运动时，可以把系统分成不同的子系统，这些子系 统之间相互作用可以忽略不计 𝐻ˆ = Õ 𝑁 𝑖=1 ℎˆ 𝑖(𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 ) + 𝐻𝐼 ≃ Õ 𝑁 𝑖=1 ℎ𝑖(𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 ) 子系可以是组成系统的粒子、或者粒子的某个自由度、或者 是元激发 子系 ⇔ 粒子 𝐻ˆ = Õ 𝑖 𝒑 2 𝑖 2𝑚 = Õ 𝑖 𝑝 2 𝑖𝑥 2𝑚 + Õ 𝑖 𝑝 2 𝑖𝑦 2𝑚 + Õ 𝑖 𝑝 2 𝑖𝑧 2𝑚 ✞ ✝ ☎ 单原子气体 ✆ 𝐻ˆ = Õ 𝑖 𝒑 2 𝑖 2𝑀 + Õ 𝑖 L 2 𝑖 2𝐼 + Õ 𝑖 ℎˆ 𝑖𝑣 ✞ ✝ ☎ 多原子分子气体 ✆ 𝐻ˆ = Õ 𝑖 𝒑 2 𝑖 2𝑚 + Õ 𝑖< 𝑗 𝑉(𝒓𝑖 𝑗) ≃ 𝐸0 + Õ 𝒒 ℏ𝜔𝒒 |𝑛𝒒⟩⟨𝑛𝒒 | ✞ ✝ ☎ 声子 ✆
近独立子系组成的系统 N个近独立粒子组成的系统，这些粒子具有相同的运动形式，单 粒子的Hamiltonian相同，粒子间没有相互作用 A=∑i(,pv,H）=∑il,pv,H.…) Q这里只考虑粒子具有相同的Hamiltonian, 即单组元系统。 多组元的话分开来处理。 。方依赖于外界参数，例如系统体积/尺寸、磁场、电场等。 Q微观描述：系统的波函数平(，t)》 热力学平衡态物理量（特别是能量）不随时间改变 一只要考虑物理量（特别是能量）不变的态一能量本征态 Q对于无相互作用的系统，粒子之间没有关系，求系统的本征 态/波函数时可以通过分离变量，先求出单粒子的本征态/波 函数，然后组合出系统本征态/波函数
近独立子系组成的系统 𝑁 个近独立粒子组成的系统，这些粒子具有相同的运动形式，单 粒子的 Hamiltonian 相同，粒子间没有相互作用 𝐻ˆ = Õ 𝑖 ℎˆ 𝑖(𝒓ˆ𝑖 , 𝒑ˆ 𝑖 |𝑉, 𝐻, · · · ) = Õ 𝑖 ℎˆ(𝒓ˆ𝑖 , 𝒑ˆ 𝑖 |𝑉, 𝐻, · · · ) 这里只考虑粒子具有相同的 Hamiltonian，即单组元系统。 多组元的话分开来处理。 ℎˆ 依赖于外界参数，例如系统体积／尺寸、磁场、电场等。 微观描述：系统的波函数 |Ψ(𝒓𝑖 , 𝑡)⟩ 热力学平衡态物理量（特别是能量）不随时间改变 ⇒ 只要考虑物理量（特别是能量）不变的态 ⇒ 能量本征态 对于无相互作用的系统，粒子之间没有关系，求系统的本征 态/波函数时可以通过分离变量，先求出单粒子的本征态/波 函数，然后组合出系统本征态/波函数
无相互作用系统的微观描述：单粒子问题 A=∑i=∑i(rpW 地s〉=Es(V)l地s） 态描述，V为体积，即外界参数 =e(Vlw1a)》 能级描述：a=1,2,,w1:w1简并度 (地sws〉=6ss (1 aUra〉=8w6aa
无相互作用系统的微观描述：单粒子问题 𝐻ˆ = Õ 𝑖 ℎˆ 𝑖 = Õ 𝑖 ℎˆ(𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 |𝑉) ℎˆ|𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑠 (𝑉)|𝜓𝑠⟩ ✞ ✝ ☎ 态描述， ✆ 𝑉 为体积，即外界参数 = 𝜀𝑙(𝑉)|𝜓𝑙𝛼⟩ ✞ ✝ ☎ 能级描述： ✆ 𝛼 = 1, 2, ·, 𝜔𝑙；𝜔𝑙 简并度 ⟨𝜓𝑠 |𝜓𝑠 ′⟩ = 𝛿𝑠𝑠′ ⟨𝜓𝑙𝛼|𝜓𝑙 ′𝛼′⟩ = 𝛿𝑙𝑙′𝛿𝛼𝛼′
无相互作用系统的微观描述：系统问题 A=∑i:=∑ip》 il山s）=Esl地s〉=elw1a) )=EΨ) 露统计假设中微观态的数目指的是系统态，不是单粒子态。单 粒子态只不过是得到系统态的手段。 露从单粒子态得到系统态时需要考虑粒子全同性 Q非全同粒子：系统本征波函数是单粒子态的简单直积 1Ψs(1,2,·,N)》=lws1(1)》8lws2(2)》…8lsw(N)》 =ls(1)地2(2)·sw(W)》 =l1m(1)42a2(2)…4waw(N)》 IYs〉=E,Ψs)=∑clΨs)=∑eΨs) Es=∑e=∑e
无相互作用系统的微观描述：系统问题 𝐻ˆ = Õ 𝑖 ℎˆ 𝑖 = Õ 𝑖 ℎˆ(𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 ) ℎˆ|𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑠 |𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑙 |𝜓𝑙𝛼⟩ 𝐻ˆ |Ψ⟩ = 𝐸𝑠 |Ψ⟩ ☞ 统计假设中微观态的数目指的是系统态，不是单粒子态。单 粒子态只不过是得到系统态的手段。 ☞ 从单粒子态得到系统态时需要考虑粒子全同性 非全同粒子：系统本征波函数是单粒子态的简单直积 |Ψ𝑆 (1, 2, · · · , 𝑁)⟩ = |𝜓𝑠1 (1)⟩ ⊗ |𝜓𝑠2 (2)⟩ · · · ⊗ |𝜓𝑠𝑁 (𝑁)⟩ = |𝜓𝑠1 (1)𝜓𝑠2 (2) · · · 𝜓𝑠𝑁 (𝑁)⟩ = |𝜓𝑙1𝛼1 (1)𝜓𝑙2𝛼2 (2) · · · 𝜓𝑙𝑁 𝛼𝑁 (𝑁)⟩ 𝐻ˆ |Ψ𝑆⟩ = 𝐸𝑠 |Ψ𝑆⟩ = Õ 𝑖 𝜀𝑠𝑖 |Ψ𝑆⟩ = Õ 𝑖 𝜀𝑙𝑖 |Ψ𝑆⟩ 𝐸𝑆 = Õ 𝑖 𝜀𝑠𝑖 = Õ 𝑖 𝜀𝑙𝑖
无相互作用系统的微观描述：系统问题 A=∑ia,=∑ip》 地s〉=Esl也s〉=Elw1a》 I)=E,Ψ) 。全同粒子：系统本征波函数是单粒子波函数简单直积后再对 称化（波色子）或者反对称化（费米子） s〉=C∑（P1a②…w(W )P:交换算符，N!个 统计物理的基本假设和方法对所有系统都相同，不依赖于组 成系统的粒子是否全同，以及具有什么样的全同性。 Q全同性仅仅体现在从单粒子态构造系统态的方法不一样
无相互作用系统的微观描述：系统问题 𝐻ˆ = Õ 𝑖 ℎˆ 𝑖 = Õ 𝑖 ℎˆ(𝒓𝑖 , 𝒑𝑖 ) ℎˆ|𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑠 |𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑙 |𝜓𝑙𝛼⟩ 𝐻ˆ |Ψ⟩ = 𝐸𝑠 |Ψ⟩ 全同粒子：系统本征波函数是单粒子波函数简单直积后再对 称化（波色子）或者反对称化（费米子） |Ψ𝑆⟩ = 1 𝐶 Õ 𝑃 (±)𝑃 |𝜓𝑠1 (1)𝜓𝑠2 (2) · · · 𝜓𝑠𝑁 (𝑁)⟩ ✞ ✝ ☎ ✆ P：交换算符，𝑁! 个 ☞ 统计物理的基本假设和方法对所有系统都相同，不依赖于组 成系统的粒子是否全同，以及具有什么样的全同性。 全同性仅仅体现在从单粒子态构造系统态的方法不一样
全同和非全同粒子 两个粒子(1,2)，两个单粒子态w1),山2〉 Q非全同粒子：多粒子态（系统态）无对称性要求 1Ψ1〉=l1(1)2(2)》 IΨ2〉=l2(1)地1(2)》 f山1〉=l也2)，只有一个多粒子态（系统态）。 Ifw1〉≠lw2),有两个不同的多粒子态 Q全同波色子：交换对称的多粒子波函数 )）=w1(1)2(2》+w1(2)42(1)川=。w1(1)42(2》+w2(1)1(2)川 不管山1和少2是不是相同，都只有一个多粒子态 Q全同费米子：交换反对称的多粒子波函数 )=。lw1(1)2(2》-w1(2w2(1)川=。[w1(1)2(2》-1w2()w1(2川 If1=2,1平)=0，此多粒子态不存在Pauli不相容原理 If山1卡山2，有一个多粒子态
全同和非全同粒子 两个粒子（1,2），两个单粒子态 |𝜓1⟩, |𝜓2⟩ 非全同粒子：多粒子态（系统态）无对称性要求 |Ψ1⟩ = |𝜓1 (1)𝜓2 (2)⟩ |Ψ2⟩ = |𝜓2 (1)𝜓1 (2)⟩ If |𝜓1⟩ = |𝜓2⟩，只有一个多粒子态（系统态）。 If |𝜓1⟩ ≠ |𝜓2⟩，有两个不同的多粒子态 全同波色子：交换对称的多粒子波函数 |Ψ⟩ = 1 𝐶 [|𝜓1 (1)𝜓2 (2)⟩ + |𝜓1 (2)𝜓2 (1)⟩] = 1 𝐶 [|𝜓1 (1)𝜓2 (2)⟩ + |𝜓2 (1)𝜓1 (2)⟩] 不管 𝜓1 和 𝜓2 是不是相同，都只有一个多粒子态 全同费米子：交换反对称的多粒子波函数 |Ψ⟩ = 1 𝐶 [|𝜓1 (1)𝜓2 (2)⟩ − |𝜓1 (2)𝜓2 (1)⟩] = 1 𝐶 [|𝜓1 (1)𝜓2 (2)⟩ − |𝜓2 (1)𝜓1 (2)⟩] If 𝜓1 = 𝜓2，|Ψ⟩ = 0，此多粒子态不存在 ☞ Pauli 不相容原理 If 𝜓1 ≠ 𝜓2，有一个多粒子态
系统态（多粒子态）和单粒子态 经典粒子 Bo tome.nn E斤t2元1 ()省9置)光纱 a3ad-3 24 光 (0程问份四名妙 4G(2 1鬼9少> 一9伊98 4g4'2 E:4 H):109回w44》
系统态（多粒子态）和单粒子态 经典粒子
系统态（多粒子态）和单粒子态 Boson B E=t2么中@ 8 1第0名，月公)沙 +l名四D界)名9 2 y 1四g四？，四少 +名)D,8四 1尔2 0 骨⊙%198四名> 9998 t1ya少细 4- 9/i2 E:4E M/=3 4):10回9w光/沙 W
系统态（多粒子态）和单粒子态 Boson