第29卷第6期 高师理科学刊 Vol.29 No.6 2009年11月 Joumal of Science of Teachers'College and University Nom,2009 文章编号：1007-9831(2009)06-0045-03 球、柱坐标系中的急动度 刘耀康 (四川建筑积业技术学院计年机工程系，四川德阳618000) 摘要：给出求球、柱坐标系中急动度的一种方法.首先分别求出了2个坐标系各个单位关量的导 数与各单位失量之间的关系，然后把2个坐标系的加速度对时间求导数，利用单位失量导数与其 的关系，导出这2种坐标系中的急动度的分量式， 关键词：急动度；球坐标系；柱坐标系；单位矢量；加速度 中图分类号：0313 文献标识码：A 急动度（又叫加加速度)是位置矢量对时间的三阶导数或加速度的一阶导数，近来一些文献相继进 行了介绍或讨论.这些文献中，急动度多在一维坐标系中求出.本文给出在球坐标系和柱坐标系中求急动 度的一种方法。 1球坐标系中的急动度 文献[4]给出了球坐标系中的加速度和其单位矢量与直角坐标系的单位矢量的关系ā=a,e,+ag2+ am。,其中： a,=i-r02-ro2sin20 ae =re+2i0-ro2 sin0cos0 (1) a。=r0sinB+2 rosin0+2 r0p cos日 e,=sin ecosoi+sin esinj+cos o=cosecospi+cosesin j-sin k (2) e。=-sinoi+cosoj 则球坐标系中的急动度为 j=a=de+a,e+doi+aoe+dgig+agig (3) 把式（1)中的加速度各分量对1求导，得 a.=7-102-2r06-ro2 sin20-2r02 sin 0cos0-2roosin20 ag=re+3r+2r0-ro2 sin ecos0-re (cos20-sin20)-2rosin 0cos (4) a=rosin 0+3rosin 3repcos0+4reocose+2rosin 0-2re2osin 把式(2)中的各方向的单位矢量对t求导并与之比较，得 [e,=ie。+psin0e。 eg=-8e,+pcos0e。 (5) e。=-psin0e,-pcos8eg 将式（5)代人式（3)，分别合并e,e。,e。的系数得急动度j在球坐标系的分量 收稿日期：2009-07-10 作者简介：刘履嫩(1949-)，男，四川德阳人，副教授，从事大学物理教学及数值计算研究.E-mal:yk558@t0m.com 万方数据
第29卷 2009矩 第6期 11月 高师理科学刊 Journal of Science of Teachers’College and University V01．29 No．6 Nov． 2009 文章编号：1 007～983 1(2009)06—0045—03 球、柱坐标系中的急动度 刘耀康 (匹t JII建筑职业技术学院计算机工程系．四川德阳618000) 摘要：给出求球、柱坐标系中急动度的一种方法．首先分别求出了2个坐标系各个单位矢量的导 数与各单位矢量之间的关系，然后把2个坐标系的加速度对时间求导数，利用单位矢量导数与其 的关系，导出这2种坐标系中的急动度的分量式． 关键词：急动度；球坐标系；柱坐标系；单位矢量；加速度 中图分类号：0313 文献标识码：A 急动度(又叫加加速度)是位置矢量对时间的三阶导数或加速度的一阶导数，近来一些文献I卜3相继进 行了介绍或讨论．这些文献中，急动度多在一维坐标系中求出．本文给出在球坐标系和柱坐标系中求急动 度的一种方法． 1球坐标系中的急动度 ．文献【4]给出了球坐标系中的加速度和其单位矢量与直角坐标系的单位矢量的关系五=以，釜，+口。舍+ 口矿乞，其中： fa，=尹一，．台2一r痧2 sin2秒 {口口=rO+2产口一，．驴2 sinocos口 l口矿=rffsin9+2丸,bsinp+2rO(acos／9 l占，=sinocostpi+sinosin妒J+cosok {吾口=COSt9cos妒f+COSOsin妒J—sin口七 一一sin·oi'+cos々oj 则球坐标系中的急动度为 (I) (2) l，=云=dr占+口，舍+a口舍+口口吾+a妒占妒+口9辛9 (3) 把式(1)中的加速度各分量对t求导，得 f石，=F—J；分2—2r彬一产多2 sin 2口一2ra痧2 sin 0cosO一2r(b≯sin2 0 {西：=rg+3产疹+2，矽一产≥2 sin acos口-’rb&2(co-sv2．秒一sin 2护)一2，-谚痧sin 8cos护 (4) la伊=r{b"sin口+3,硒sin秒+3r影COS口+4t：O≮bcos0+2F々bsin目一2r029bsin口 把式(2)中的各方向的单位矢量对t求导并与之比较，得 f占，=护占口+(bsin臼毒妒 {占口=一目言，+·bcos0舍矿 (5) l占伊=一々bsin口占，一々bcos0毒8 将式(5)代入式(3)，分别合并毒，，毛，舍。的系数得急动度歹在球坐标系的分量 收稿日期：2009--07—10 作者简介：刘耀康(1949一)，男，四川德阳人，副教授，从事大学物理教学及数值计算研究．E-mail：lyk558@tom．corn 万方数据
46 高帅理科学刊 第29卷 j,=a,-aee-aosine j,=d,-ao0-asine je=do+a,8-anpc0s日 ,再把式(1)、式(4)分别代入{j。=ag+a,8-a。pcos0 ，并经过 jp=d。+a,psin8+agocos日 Je=a +a,osine+agcose 计第得 j,=7-30+r0)0-3r+r)osin20-3r002 sin 0cos0 je =r+3(+)-r3-3(rsin 0+r6cos0)2 cos0-3rosin 0cos (6) j=(r+3r+3ro-ro-3r02)sin +(3rg+6i+r6p)cose 特别地，若r=k,1,0=kg1,p=k。1,其中：k,kg,k.都是常数，即r,日，p都是t的线性函数，显 i=k j,=-3k,kg2-3k,sin日+rk cos8k。2sin0 然{8=k。,则有j。=-k。3-3(k,sin0+r coso)k,cos8。 j。=6k,kgk。cos9-r(k。2+3kg2k。sin8 2柱坐标系中的急动度 柱坐标系中的加速度和其单位矢量与直角坐标系的单位矢量的关系为ā=ae+a。。+艺，其中： a。=p-p02 a。=p0+2p0 (7) 02=艺 =-sin oi+cosj (8) e,=k 则球坐标系中的急动度为 j==a,e+ane+ae。+ape。+z (9) 把式(7)中的加速度各分量对1求导，得 à。=p-p02-2p00 a。=p0+3p0+2p0 (10) 0:-z 把式(8)中的各方向的单位矢量对t求导，得 。=pep =-e。 (11) è=0 je=ap-aoo 将式(11)代人式(9)，分别合并e。,e。,的系数得急动度j在柱坐标系的分量 j。=à。+ap， ,=Z 再把式(10)代入并经过计算得 [j。=p-3(p0+p0)p j。=p0+30+30-p0 (12) j2=艺 考虑到平面极坐标是球坐标中0=π/2的特例，可在式(6)中令8=π/2，再把j,换成j。,j。换成j: 即可得到式(12). 。=-3kk。2 特别地，p=k,1,=k。1,z=k,其中：k。·k。k:都是常数，则。=-k。· =0 3结束语 万方数据
计算得 ，再把式¨’、式‘4’分别代令{幺 f．，， =五，一aoO—n∞々bsin0 =西日+a,O一口。々bcos0 ，并经过 =五口+arIjbsin0+a6I々bcos8 =≯‘一3(户占+，．万)乡一3(户多+，-彩)痧sin 20—3rO《b2 sinocos0 =，．gr+3(户疹+F乡)一，．矽3—3(?sin 0+r cos口)多2 cos矽一3r驴≯sin 0cos 0 =(，．≯+3户≯+3，矽一re3—3，．占2口b)sin护+(3r西莎+670々b+rO々b)cos0 特别地，若r=k，f，伊=k口f，妒=k矿f，其中：k，，k口，七伊都是常数，即r，护，缈都是f的线性函数，显 。．、fi=k， f J，2—-3k，!口2—_3(k，sin 0+rk口cosO)k妒2 sin 0 然{曼。侈，则有{／占一rk口3-3(k，sin O+rcos6k口)七矿2cos0． 1舻％ ∽=6k，k口k矿cosO-r(k矿2+3k2)i舻sinO’ 2柱坐标系中的急动度 柱坐标系中的加速度和其单位矢量与直角坐标系的单位矢量的关系为五=嘭占+％乞+乏，其中： a o=誊一p矿 1：；三多矽十2p驴 ‘7) 则球坐标系中的急动度为 j=a=a p≥+a p乏+apa9+n9乏p+。z。 把式(7)中的加速度各分量对f求导，得 五。=声一却2-2p‘b(b 舀。=p歹+3h#+2／5(h a：=乏’ 把式(8)中的各方向的单位矢量对r求导，得 口 已p (8) (9) (10) 将式(11)代入式(9)，分别合并屯，％，￡的系数得急动度j在柱坐标系的分量{Z三兰；：乏荔， 再把式(10)代入并经过计算得LJz 2 z f易=声一3(p≯+p≯)多 、j，=p审+36币+3．6审一p≯ I．，z 2 Z 考虑到平面极坐标是球坐标中口=rt／2的特例，可在式(6)中令臼：7【／2， 即可得到式(12)． (12) 再把L换成．『p，Jo换成j。 特别地，p=kat,伊：七妒r，z：七：，，其中：七p，七妒，七：都是常数，则{矗jp：=一-雄3kp。k39,2． J J：=0 3结束语 C OS p p 洳抑钆咖啷嘞 9．够 口 n n 一 砌m办 ．臼．p．够 一．虬 一 ++ r 口 妒 ．口．口．Ⅱ = = = r 口 妒 ，●●●●●●J、●●●●【 ．以．如．如 r●，●●●●，‘●●●●●●L 吣啷 ‘．J缈 々-， S ，引叩 卜 孽．≯七 fI = = P 矿 “憎一”一憎． Z 妒却o = = = p 妒 z 工e二P土P ，●●●●●●，、●●●●，●L 万方数据
第6期 刘耀康：球、柱坐标系中的急动度 47 急动度各分量的成分是以下4种情形之一：（1)各坐标对时间的三阶导数；(2)3个坐标的一阶导 数之积；（3)一个坐标的一阶导数与另一个坐标的一阶导数的二次方之积；(4)一个坐标的一阶导数与 另一个坐标的二阶导数之积 本文给出的是一个求速度、加速度、急动度的通用方法：若位置矢量F=f(q,92,99,其中 1,92,9都是时间t的函数，则速度氵=∑(j(41,92,9,+f(q1,92,93),),只要知道色=b,,+c可 求出即速度.继续把产对：求导不但可求出加速度和急动度，还可求出急动度的一、二阶导数，只是急动 度的一、二阶导数更麻烦，有兴趣者不妨一试。 参考文献： [山黄沛天.从传统牛顿力学到当今猝变动力学)大学物理，2006,25(1)：1-3. 21董水金，佘守宪.关于加加速度的若干机械运动分析及MATLAB模拟)大学物理，2005,24(2)：57-62. [3叶柏年.点的加加速度力学与实践，1988,10(5)：53-55. 【4刘耀康.正交曲线坐标系中加速度的矩阵求法大学物理，1996,15(8)：8-11， The jerk in sperical and cylindrical coordinates LIU Yao-kang (Department of Computer Engneerin Sichusn Vocational College f Architecture,Deyang61800,China) Abstract:A method for the jerks in the spherical coordinate and the cylindrical coordinate was given.Firstly the relationships between identity vector and its derivative were found,and then the derivative of accelerations in the two coordinates were educed,the jerks in this two coordinates were deduced by using these relationships. Key words:jerk;spherical coordinate;cylindrical coordinate;identity vector;acceleration (上接第44页) 参考文献： [1张兰知.对重整热力学第二定律理论体系的不同看法)大学物理，2002(8)片34-35. [2]李平.热学M北京：北京师范大学出版社，1987. [3)湛垦华，沈小峰.普利高津与耗散结构理论M.西安：陕西科学技术出版社，1982. 4彼得·柯文尼，罗杰·海非尔德.时间之箭一揭开时间最大奥秘之科学旅到M].江涛，向守平，译。长沙：湖南科学 技术出版社，2005. [5]伊·普利高津.从存在到演化自然科学中的时间及复杂性M曾庆宏，译.上海：上海科学技术出版社，1986 [6张兰知.热力学第二定律的非对称性)大学物理，2001(3)：24-25 The concrete thought on reclaiming width of the theory of the second law of thermodynamics ZHANG Lan-zhi School of Seience.Qiqihar University,Qigihar 161006.China) Abstract:The concrete thought on reclaiming width of the theory of the second law of thermodynamics is presented from entropy flowing,entropy bringing and the degradation of energy,the spread of entropy,negative entropy,the duality principle of entropy change in the open system,entropy world view,the arrow of time the natural disposition concept of the second law of thermodynamics. Key words:the second law of thermodynamics;entropy;theory 万方数据
第6期 刘耀康：球、柱坐标系中的急动度 47 急动度各分量的成分是以下4种情形之一：(1)各唑标对时间的三阶导数；(2)3个坐标的一阶导 数之积；(3)一个坐标的一阶导数与另～个坐标的一阶导数的二次方之积；(4)一个坐标的一阶导数与 另一个坐标的二阶导数之积． 本文给出的是一个求速度、加速度、急动度的通用方法：若位置矢量F=∑Z(q。，q：，q3弦i，其中 f 口】，q2，93都是时间f的函数，则速度F=E(L(ql，q2，q3赡+^(9J，q2，q3)色)，只要知道占f=6j吾』+Ck占女可 j 求出F即速度．继续把声对t求导不但可求出加速度和急动度，还可求出急动度的一、二阶导数，只是急动 度的一、二阶导数更麻烦，有兴趣者不妨一试． 参考文献： 【l】黄沛天．从传统牛顿力学到当今猝变动力学岍．大学物理，2006，25(1)：l一3． t2】董水金，佘守宪．关于加加速度的若干机械运动分析及MATLAB模拟[J]．大学物理，2005，24(2)：57-62 【3】叶柏年．点的加加速度【J】．力学与实践，1988，10(5)：53—55． 【4】刘耀康．正交曲线坐标系中加速度的矩阵求法【J】．大学物理，1996，15(8)：8-1 1． The jerk in sperical and cylindrical coordinates LIU Yao——kang (Department ofComputer Engineering，Siehuan Vocational College ofArchitecture，Deyang 618000，China) Abstract：A method for the jerks in the spherical coordinate and the cylindrical coordinate was given．Firstly the relationships between identity vector and its derivative were found，and then the derivative of accelerations in the two coordinates were educed，the jerks in this two coordinates were deduced by using these relationships． Key words：jerk；spherical coordinate；cylindrical coordinate；identity vector；acceleration (上接第44页) 参考文献： 【1】张兰知．对重整热力学第二定律理论体系的不同看法【J]．大学物理，2002(8)：34—35． 【2】李平．热学【M】．北京：北京师范大学出版社，1987． [3】湛垦华，沈小峰．普利高津与耗散结构理论IM】．西安：陕西科学技术出版社，1982． 【4】彼得·柯文尼，罗杰·海菲尔德．时间之箭——揭开时间最大奥秘之科学旅程【M】．江涛，向守平，译．长沙：湖南科学 技术出版社，2005． 【5】伊·普利高津．从存在到演化自然科学中的时间及复杂性【M】．曾庆宏，译．上海：上海科学技术出版社，1986． 【6】张兰知．热力学第二定律的非对称性【J]．大学物理，2001(3)：24—25． The concrete thought on reclaiming width of the theory of the second law of thermodynamics ZHANG Lan—zhi (School ofScience，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China) Abstract：The concrete thought on reclaiming width of the theory of the second law of thermodynamics is presented from entropy flowing，entropy bringing and the degradation of energy，the spread of entropy，negative entropy，the duality principle of entropy change in the open system，entropy world view，the alTOW of time the natural disposition concept of the second law of thermodynamics． Key words：the second law of thermodynamics；entropy；theory 万方数据