第2期 尹忠：解析函数特殊性质的应用 。5 fda f(2)=2ci. 其中C是使∫（亿）解析的单连域内包围z的简单闭曲线 特性5（任意阶导数公式）解析函数∫(z)的导函数仍是解析函数且任意阶导数公式为 "e)=是手，=1.2 其中C是使∫（亿）解析的单连域内包围z的简单闭曲线 2特殊性质的应用 L特性1的应用一一求解析函数的简单方法 (1)问题的提出 由特性1可知，如果已知一个调和函数u(x,y),我们就可以求得它的共轭调和函数v(x,y),从而 构成一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y以同理，如果已知一个调和函数v(x,y),我们也可以求出它 的共轭调和函数u(x,y),构成一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)对于这一类问题，教材上一般都 是用柯西一一黎曼(Cauchy-Riemann)方程（以下称C-R方程）去求解，但步骤较多且繁难下面通过 严格的理论证明，给出一种解决此类问题的新的简单的方法 (2)问题的论证 命题1设(x,y)为单连域D内的调和函数，则存在 vx,y)=Jw-号+d4C (1) 使得f亿)=叶iv为D内的解析函数 证明由于u(x,y)为调和函数，则u(x,y)在D内具有二阶连续偏导数，且 +=0 令 户-号，g贵则RQ在D内只有一阶连续偏导数 又由于聚+导=0得=杂 根据高等数学中二元透数的全微分求积定理知：P+Q=-号d+受少 是某个函数不纺设为(x,)的全微分.即山仁，=-景+是山 两端积分得 wn。}毫a+C 其中(x0,o)是D内的定点，(x,y)是D内的动点，C为任意常数，且积分与路径无关 将(1试分别对，少求偏导得受--，景=受 满足C-R方程，由函数解析的充要条件知，∫(z)=+v为一解析函数。 证毕 类似地，有结论：若v(x,y)为单连域D内的调和函数，则存在 n景d-景rc (2) 使得f(z)=u+v为解析函数特别地，当D内包含原点时，(xo,o)可取为(0,0) 命题2若f(z)=u(x,y)+iv(x,y为解析函数，则它一定能单独用z来表示 证明把x=之(+，=方e-z)代入f仁冲，则fe)可看成是两个变量z,2的函数，由偏导 数的锁链法则，得 由C-R方程知，上式括号中的值为0，从而 af(=0 ?1994-2017 China Academic Journal Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.netf (z)= 1 2ci∮c f (a) a- z da 其中 C是使 f (z )解析的单连域内包围 z 的简单闭曲线。 特性 5(任意阶导数公式 ) 解析函数 f (z)的导函数仍是解析函数且任意阶导数公式为 f (n ) (z )= n! 2ci∮c f (a) (a- z) n+ 1 da, n= 1, 2,… 其中 C是使 f (z )解析的单连域内包围 z 的简单闭曲线。 2 特殊性质的应用 1.特性 1的应用—— 求解析函数的简单方法 ( 1)问题的提出 由特性 1可知 ,如果已知一个调和函数 u (x , y ) ,我们就可以求得它的共轭调和函数 v ( x , y ) ,从而 构成一个解析函数 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )。同理 ,如果已知一个调和函数 v (x , y ) ,我们也可以求出它 的共轭调和函数 u (x , y ) ,构成一个解析函数 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )。对于这一类问题 ,教材上一般都 是用柯西—— 黎曼 ( Cauchy- Riemann)方程 (以下称 C- R方程 )去求解 ,但步骤较多且繁难。下面通过 严格的理论证明 ,给出一种解决此类问题的新的简单的方法。 ( 2)问题的论证 命题 1 设 u (x , y )为单连域 D内的调和函数 ,则存在 v (x , y )=∫ ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) - u y dx+ u x dy+ C ( 1) 使得 f (z )= u+ iv 为 D内的解析函数。 证明 由于 u ( x , y )为调和函数 ,则 u ( x , y )在 D内具有二阶连续偏导数 ,且 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0 令 P= - u y , Q= u x ,则 P、 Q在 D内只有一阶连续偏导数。 又由于 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0, 得 P y = Q x 根据高等数学中二元函数的全微分求积定理知: P dx+ Qdy= - u y dx+ u x dy 是某个函数 (不妨设为 v ( x , y ) )的全微分 ,即 dv (x , y )= - u y dx+ u x dy 两端积分得 v ( x , y )=∫ ( x , y) ( x 0 ,y 0 ) - u y dx+ u x dy+ C 其中 (x 0 , y0 )是 D内的定点 , (x , y )是 D内的动点 ,C为任意常数 ,且积分与路径无关。 将 ( 1)式分别对 x , y 求偏导 ,得 v x = - u y , v y = u x 满足 C- R方程 ,由函数解析的充要条件知 , f (z)= u+ iv 为一解析函数。 证毕 类似地 ,有结论: 若 v ( x , y )为单连域 D内的调和函数 ,则存在 u( x , y )=∫ ( x , y) ( x 0 ,y 0 ) v y dx- v x dy+ C ( 2) 使得 f (z )= u+ iv 为解析函数。 特别地 ,当 D内包含原点时 , (x 0 , y0 )可取为 ( 0, 0)。 命题 2 若 f (z )= u (x , y )+ iv (x , y )为解析函数 ,则它一定能单独用 z 来表示。 证明 把 x= 1 2 (z+ z) , y= 1 2i (z - z)代入 f (z )中 ,则 f (z)可看成是两个变量 z,z 的函数 ,由偏导 数的锁链法则 ,得 f (z) z = u x · x z + u y · y z + i v x · x z + v y · y z = 1 2 u x - v y + 1 2 v x + u y i 由 C- R方程知 ,上式括号中的值为 0,从而 f (z) z = 0 第 2期 尹 忠: 解析函数特殊性质的应用 · 5·