4 中等数学 的年号，另三位数码和为10，其中至多一位 假若所分成的A、B、C三组数对应的和 为0.若其中一位为0且另两位的和为10，有 Paps pe为互异质数 9种情况，若考虑0的位置，共得39=27种 因P,+m+=1+2 +9=45能被 情况；若后三位都不为0，其填法种数等于 3整除，故三个和数nmn必为同一类 x+y+:=10的正整数解的组数，按x取值 数.注意到A类三数的和7+13+19=39< 由1到8讨论得36组解。 45,B类三数的和11+17+23=51>45，矛 故连同2009本身，共计解数1+27+36 =64个 故三个和数中必有两个相等 第二试 (2)据(1)知，将45表成7,11,13,17,19 一、将方程看作关于a的一元二次方 23中的三数和（其中有两数相等），只有四种 程，整理得 情况： a2.(2x2+6x)a+x+6x3+9x2-4=0 ①9+19+7，②7+17+11 →a2.(2x2+6x)a+(x2+3x)2.4=0 33+13+19.4】1+11+23 由干在12·9中有5个寄数故分成 →d2.[(x2+3x+2)+(x+3x-2)]a+ (x2+3x+2)(x2+3x.2)=0 的三组中必有一组三数全为奇数，另两组各 有一个奇数. →a=x2+3x+2和a=2+3x-2 对于情形①，和为7的组只12，， 分别解得 :-tg4aMs-tad 将剩下的六个数3,5,6,7,8,9分为和为19 的两组，且其中一组全为奇数，只有唯一的分 2 2 二、如图4，设内 法{3,795.68 心为1，联结A、IE、 对于情形②，若三奇数的组从1,7,9， IF、BM、CN则A 则另两组为4,5,8，人2,3，或3,6,8 E、、F四点共圆，有 2,4, 若三奇数的组从359，则另两组为 ∠IE=∠F=片 2,8,){1,4⊙或4,6{128： Ba+ 若三奇数的组从1,3，)，则另两组为 2,6,9{4,5,8 =∠B1C. 图4 共得5种分法 所以，B、E、M、1四点共圆」 对于情形③，若三奇数的组从3,7,9 于是，∠BMI=∠BEI=90 则另两组从1,4825，父： 同理.∠BWC=90° 故DM、DN分别是R△BMCR△BNC斜 若三奇数的组水13,9，则另两组为 24,75,6,8或25,6 4,78 边BC上的中线， 若三奇数的组从1,5)，则另两组为 因此，DM=DN=BC {34,{2,89或23,8{469 三、()由于在12，…，9中，三个不同的 共得5种分法 数之和介于6和24之间，其中的质数只有7 对于情形④和为23的组只有6,8,9 11,13,17,19.23这六个，现将这六个数按被 则另两组从1,3,7人2,4， 3除的余数情况分为两类 综上，共计1+5+5+1=12种分法 A=7,13,19,其中每个数被3除余1： (陶平生江西科技师范学院数学与计 B=11,1723 其中每个数被3除余2 算机科学系，330013) e 1994-2009 China Academic Journal electronic Publishing House.All rights reserved. 的年号 ,另三位数码和为 10 ,其中至多一位 为 0. 若其中一位为 0 且另两位的和为 10 ,有 9 种情况 ,若考虑 0 的位置 ,共得 3 ×9 = 27 种 情况 ;若后三位都不为 0 ,其填法种数等于 x + y + z = 10 的正整数解的组数 ,按 x 取值 由 1 到 8 讨论得 36 组解. 故连同 2 009 本身 ,共计解数 1 + 27 + 36 = 64 个. 第 二 试 一、将方程看作关于 a 的一元二次方 程 ,整理得 a 2 - (2 x 2 + 6 x) a + x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 - 4 = 0 ] a 2 - (2 x 2 + 6 x) a + ( x 2 + 3 x) 2 - 4 = 0 ] a 2 - [ ( x 2 +3x + 2) + ( x 2 + 3x - 2) ] a + ( x 2 + 3 x + 2) ( x 2 + 3 x - 2) = 0 ] a = x 2 +3x +2和 a = x 2 +3x - 2. 分别解得 x1 ,2 = - 3 ± 4a +1 2 ,x3 ,4 = - 3 ± 4a +17 2 . 图 4 二、如图 4 ,设内 心为 I ,联结 IA 、IE、 IF、BM 、CN. 则 A 、 E、I、F 四点共圆 ,有 ∠IEF = ∠IAF = ∠A 2 , ∠B EM = π 2 + ∠A 2 = ∠BIC. 所以 ,B 、E、M 、I 四点共圆. 于是 , ∠BMI = ∠B EI = 90°. 同理 , ∠BNC = 90°. 故 DM、DN 分别是 Rt △BMC、Rt △BNC 斜 边 BC 上的中线. 因此 , DM = DN = 1 2 BC. 三、(1) 由于在 1 ,2 , …,9 中 ,三个不同的 数之和介于 6 和 24 之间 ,其中的质数只有 7 , 11 ,13 ,17 ,19 ,23 这六个. 现将这六个数按被 3 除的余数情况分为两类 : A = 7 ,13 ,19 ,其中每个数被 3 除余 1 ; B = 11 ,17 ,23 ,其中每个数被 3 除余 2. 假若所分成的 A 、B 、C 三组数对应的和 pa 、pb 、pc 为互异质数. 因 pa + pb + pc = 1 + 2 + …+ 9 = 45 能被 3 整除 ,故三个和数 pa 、pb 、pc 必为同一类 数. 注意到 A 类三数的和 7 + 13 + 19 = 39 < 45 , B 类三数的和 11 + 17 + 23 = 51 > 45 ,矛 盾. 故三个和数中必有两个相等. (2) 据(1) 知 ,将 45 表成 7 ,11 ,13 ,17 ,19 , 23 中的三数和(其中有两数相等) ,只有四种 情况 : ①19 + 19 + 7 , ②17 + 17 + 11 , ③13 + 13 + 19 , ④11 + 11 + 23. 由于在 1 ,2 , …,9 中有 5 个奇数 ,故分成 的三组中必有一组三数全为奇数 ,另两组各 有一个奇数. 对于情形 ①,和为 7 的组只有 1 ,2 ,4 , 将剩下的六个数 3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 分为和为 19 的两组 ,且其中一组全为奇数 ,只有唯一的分 法 : 3 ,7 ,9 与 5 ,6 ,8 . 对于情形 ②,若三奇数的组为 1 ,7 ,9 , 则另两组为 4 ,5 ,8 , 2 ,3 ,6 或 3 ,6 ,8 , 2 ,4 ,5 ; 若三奇数的组为 3 ,5 ,9 ,则另两组为 2 ,8 ,7 , 1 ,4 ,6 或 4 ,6 ,7 , 1 ,2 ,8 ; 若三奇数的组为 1 ,3 ,7 ,则另两组为 2 ,6 ,9 , 4 ,5 ,8 . 共得 5 种分法. 对于情形 ③,若三奇数的组为 3 ,7 ,9 , 则另两组为 1 ,4 ,8 , 2 ,5 ,6 ; 若三奇数的组为 1 ,3 ,9 ,则另两组为 2 ,4 ,7 5 ,6 ,8 或 2 ,5 ,6 , 4 ,7 ,8 ; 若三奇数的组为 1 ,5 ,7 ,则另两组为 3 ,4 ,6 , 2 ,8 ,9 或 2 ,3 ,8 , 4 ,6 ,9 . 共得 5 种分法. 对于情形 ④,和为 23 的组只有 6 ,8 ,9 , 则另两组为 1 ,3 ,7 , 2 ,4 ,5 . 综上 ,共计 1 + 5 + 5 + 1 = 12 种分法. (陶平生 江西科技师范学院数学与计 算机科学系 ,330013) 4 中 等 数 学 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net