Methods of Mathematical Physi ) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU (2)相似定理:如果0)列(p),a是一正数,则a)分可 证明:o(an)loan)e"d=o(r)ead=|=o/p (3)原函数求导定理:如果o()4(p),则q()p(p)-0(0 般地,对自然数n,有(带初值) p(0<pp(p)-po(0)-p o(O) 证明 p(0<ho(e"dt=he"dp(0 p((e"r+ph p(0)e"'dr= pp(p)-(o) 其中,t→∞时,o(t)em→0,这是因为o(1)(p),所以 0(1)≤Me,而Rep 因此 p(口)e|≤Me 两个极限 1.lmpp(p)=o(0),这是因为pp(p)-0(0)作为q()的象函 数,应满足m[p(p)-9(0)]=0,即mp(p)=o(0) 2. lim po(p)=lim p(t) 这是因为o()4→q(e"d=po(p)-0o), lim pp(p)=limL o(Oe-p'dt+p(0) q(1)dt+g(0) lim o(n) (4)原函数积分定理:如果m01列(,则M(无初 值) 证明:记v()=[o(rdr,显然,v(O)=0 于是有v(1)4pv(p)-v(0)=pv(p) 另一方面,v(1)=(1)页(p).比较两式可得,Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4 （2） 相似定理：如果 (t)   ( p) ，a 是一正数，则        a p a  at  1 ( ) . 证明：        =       =     − − a p a a at at e t e a p pt        1 ( ) ( ) d ( ) d 0 0 . （3） 原函数求导定理：如果 (t)   ( p) ，则 '(t)  p(p)−(0). 一般地，对自然数 n，有（带初值） ( ) ( ) ( ) ( ) (0) '(0) (0) −1 −2 −1  − − − − n n n n n  t p  p p  p    . 证明： ( ) ( ) d ( ) (0) '( ) '( ) d d ( ) 0 0 0 0        = + = −  =     − = = −  −  − t e p t e t p p t t e t e t pt t t pt pt pt 其中， t →  时， ( ) → 0 − pt  t e ，这是因为 (t)   ( p) ，所以 s t t Me 0 ( )  ，而 Re 0 p = s  s ，因此 ( ) ( ) 0  t e − pt  Me− s−s0 t → (t → ) . 两个极限： 1． lim ( ) = (0) → p p p ，这是因为 p ( p) −(0) 作为 (t) 的象函 数，应满足 lim  ( ) − (0) = 0 → p p  p ，即 lim ( ) = (0) → p p p . 2． 0 lim ( ) lim ( ) p t p p t   → → = ， 这是因为 '( ) '( ) d ( ) (0) 0    =  −   − t t e t p p pt ， 0 0 0 0 lim ( ) lim '( ) d (0) '( )d (0) lim ( ). pt p p t p p t e t t t t         − → → →   = + = +     =   （4） 原函数积分定理：如果 (t)   ( p) ，则 ( ) p p d t       0 ( ) (无初 值)。 证明：记 0 ( ) ( )d t     t   ，显然，  (0) = 0 . 于是有 '(t)  p (p)−(0) = p (p). 另一方面， '(t) =(t) (p). 比较两式可得