China-pub.coM 第11章积分和微分方程组 155 下载 这是一个第1阶的ODE系统。 对于某一时间间隔0≤1≤T,初始值问题的解决方法是将时间分成一组有限和离散的时间 点，例如用相同的时间间隔△进行等分： t=i△t,i=0,.,W 其中时间步长△仁TN,N为某一整数。这种导数能被微分方程的可微分的商所代替，微分 方程表示在不同时间点的解。见例11.2，给出更多的有关有限微分商的信息。这种方法的稳 定性取决于△的大小和所采用的数值方法，用这种方法能得到ODE的近似值。 在许多应用中有一些微分过程非常复杂的微分方程，在某些区域里这些方程要求有非常 小的时间步长△1。解决这些问题的困难在于问题中涉及不同的时间尺度，如解的导数可能有 较大的变化。 MATLAB使用龙格-库塔-芬尔格(Runge-Kutta-Fehlberg)方法来解ODE问题。在有限点内 计算求解，而这些点的间距由解本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些： 在解变化很快时，区间内应使用较多的点。 为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用helpdesk。所有求解 方程通用的语法或句法在命令集108中头两行给出。时间间隔将以向量t=[t0,tt]给出。 命令ode23可以求解(2,3)阶的常微分方程组，函数ode45使用(4,5)阶的龙格-库塔-芬 尔格方法。注意，在这种情况下x是x的微分，不是x的转置。 在命令集108中so1ver将被诸如ode45函数所代替。 命令集108 龙格-库塔-芬尔格方法 [time,x]= 计算ODE或由字符串str给定的ODE的值。部分解已 solver(str,t,x0) 在向量time中给出。在向量time中给出部分解，包含的 是时间值。还有部分解在矩阵X中给出，X的列向量是 每个方程在这些值下的解。对于标量问题，方程的解将 在向量X中给出。这些解在时间区间(1)到t(2)上计算得 到，其初始值是x0即x(t(1)。此方程组由str指定的M文 件中函数表示出。这个函数需要两个参数：标量1和向 量x,应该返回向量x'(即x的导数)。因为对标量ODE来 说，x和x'都是标量。在M文件中输入odefile可得到 更多信息。同时可以用命令numjac来计算雅可比函 数。 [t,X]= 此方程的求解过程同上。结构val包含用户给solver solver(str,t,x0,val) 的命令。参见odeset和表11-1，可得更多信息。 ode45 此方法被推荐为首选方法。 ode23 这是一个比ode45低阶的方法。 ode113 用于更高阶或大的标量计算。 ode23t 用于解决难度适中的问题。 ode23s 用于解决难度较大的微分方程组。对于系统中存在常 量矩阵的情况也有用。这是一个第1阶的O D E系统。 对于某一时间间隔0≤t≤T，初始值问题的解决方法是将时间分成一组有限和离散的时间 点，例如用相同的时间间隔 Dt进行等分： 其中时间步长Dt=T / N，N为某一整数。这种导数能被微分方程的可微分的商所代替，微分 方程表示在不同时间点的解。见例 11 . 2，给出更多的有关有限微分商的信息。这种方法的稳 定性取决于Dt的大小和所采用的数值方法，用这种方法能得到 O D E的近似值。 在许多应用中有一些微分过程非常复杂的微分方程，在某些区域里这些方程要求有非常 小的时间步长 Dt。解决这些问题的困难在于问题中涉及不同的时间尺度，如解的导数可能有 较大的变化。 M AT L A B使用龙格-库塔-芬尔格(R u n g e - K u t t a - F e h l b e rg)方法来解O D E问题。在有限点内 计算求解，而这些点的间距由解本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些； 在解变化很快时，区间内应使用较多的点。 为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用 h e l p d e s k。所有求解 方程通用的语法或句法在命令集 1 0 8中头两行给出。时间间隔将以向量 t = [ t 0 , t t ]给出。 命令o d e 2 3可以求解( 2，3 )阶的常微分方程组，函数 o d e 4 5使用( 4，5 )阶的龙格-库塔-芬 尔格方法。注意，在这种情况下 x´是x的微分，不是x的转置。 在命令集1 0 8中s o l v e r将被诸如o d e 4 5函数所代替。 命令集1 0 8 龙格-库塔-芬尔格方法 [ t i m e , X ]= 计算O D E或由字符串s t r给定的O D E的值。部分解已 s o l v e r ( s t r , t , x 0 ) 在向量t i m e中给出。在向量t i m e中给出部分解，包含的 是时间值。还有部分解在矩阵 X中给出，X的列向量是 每个方程在这些值下的解。对于标量问题，方程的解将 在向量X中给出。这些解在时间区间t ( 1 )到t ( 2 )上计算得 到，其初始值是x 0即x ( t ( 1 ) )。此方程组由s t r指定的M文 件中函数表示出。这个函数需要两个参数：标量 t和向 量x，应该返回向量x' (即x的导数)。因为对标量O D E来 说，x和x'都是标量。在M文件中输入o d e f i l e可得到 更多信息。同时可以用命令 n u m j a c来计算雅可比函 数。 [ t , X ] = 此方程的求解过程同上。结构 v a l包含用户给s o l v e r s o l v e r ( s t r , t , x 0 , v a l ) 的命令。参见o d e s e t和表11 - 1，可得更多信息。 o d e 4 5 此方法被推荐为首选方法。 o d e 2 3 这是一个比o d e 4 5低阶的方法。 o d e 1 1 3 用于更高阶或大的标量计算。 o d e 2 3 t 用于解决难度适中的问题。 o d e 2 3 s 用于解决难度较大的微分方程组。对于系统中存在常 量矩阵的情况也有用。 第11章 积分和微分方程组 1 5 5 下载