解此方程组,得到 Ov u 于是 a2-121(+2,2,四=2x2 l(x-+ av au v-inv v(x2+y2) v+x )2 (3)在方程组中对x求偏导,得到 u+x f+, g1+2g 解此方程组,得到 f281+uf1(2vg2-1)a(1-xf1)g1-f181 axf2g1-(xJ-1)(2yg2-1)axf2g1-(xf1-1(2yg2-1) (4)在方程组中分别对x与y求偏导,得到 0 ax a 与 解此两方程组,得到 与 ay ay 所以 =2 +2uv-=w(u+v), ax ax0, 0, u v x v y y y u v u y x y y ⎧ ∂ ∂ + + = ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ + + = ⎪⎩ ∂ ∂ 解此方程组，得到 2 2 y x vx uy y u − − = ∂ ∂ , 2 2 v ux vy y y x ∂ − = ∂ − 。 于是 2 2 u x ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 2 ( ) u v ux vy u x y x y x x x y x ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = + ⎜ ⎟ − + − ∂ ⎝ ⎠ ∂ − 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) u x y xyv y x + − = − , 2 u x y ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 2 ( ) v u vx uy v x y x y x x x y x ⎛ ⎞ ∂ ∂ − = + ⎜ ⎟ − + − ∂ ⎝ ⎠ ∂ − 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) v x y xyu y x + − = − 。 (3) 在方程组中对 x 求偏导，得到 1 2 1 2 , 1 2 u u v u x f f x x x v u v g vyg , x x x ⎧∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + ⎪ ⎪ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂ ⎨ ∂ ∂⎛ ⎞ ∂ ⎪ = − ⎜ ⎟ + ⎪⎩∂ ∂⎝ ⎠ ∂ 解此方程组，得到 ( 1)(2 1) (2 1) 2 1 1 2 2 1 1 2 − − − + − = ∂ ∂ f g xf vyg f g uf vyg x u , ( 1)(2 1) (1 ) 2 1 1 2 1 1 1 1 − − − − − = ∂ ∂ f g xf vyg xf g uf g x v 。 (4) 在方程组中分别对 x 与 y 求偏导，得到 1 , 0 , u v x x u v x x ⎧ ∂ ∂ = + ⎪⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ = − ⎪⎩ ∂ ∂ 与 0 , 1 , u v y y u v y y ⎧ ∂ ∂ = + ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ∂ ⎪ = − ⎪⎩ ∂ ∂ ， 解此两方程组，得到 1 2 u v x x ∂ ∂ = = ∂ ∂ 与 1 2 u v y y ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ， 所以 2 2 2 2 ( z u v uv u v uv u v) x x x ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂ + ， 9