由归纳法原理，结论普遍成立 再证唯一性设∫(x)可以分解成不可约多项式的乘积 f(x)=B(x)p(x.p.(x) 如果f(x)还有另一个分解式 f(x)=g4(x)q(x).q,(x) 其中q,1=1,2,)都是不可约多项式于是 f(x)=p(x)p,(x.p.(=q(x)q,(x.g,(x) ( 我们对s作归纳法当s=1,fx)是不可约多项式由定义必有s=1=1且f(x)=B,(x)=g(x) 现在设不可约因式的个数为3-1时唯一性已证 由(1，P(xq(x4(xg,()因此p(x)必能除尽其中的一个，无妨设P(x)q(x) 因为g(x)也是不可约多项式，所以有 D(x)=GD(x)】 在(1)式两边消去g(x),就有P(x.p.(x)=Gq(x),(x),由归纳法假定 s-1=t-1→s=1 (3) 并且适当排列次序之后有P(x)=c94(x)即P(x)=C4(x),而 p(x=C9(x,=3,) (4) (2).(,3),(4)合起来即为所要证的，这就证明了分解的唯一性 应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式 的方法实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式∫(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来使它们成为首项系数为1 的多项式再把相同的不可约因式合并于是∫(x)的分解式成为 f(x)=cpi1(x)p:2(x).pis(x) 其中c是f(x)的首项系数，B,(x),P,(x),P,(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式，而 1,5,是正整数这种分解式称为标准分解式 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础我们知道，整数也有带余除 法即 对于任意整数a,b,b≠0，都存在唯一的整数q,r,使a=qb+r其中0≤r<由归纳法原理,结论普遍成立. 再证唯一性.设 f x( ) 可以分解成不可约多项式的乘积 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s f x p x p x p x =  . 如果 f x( ) 还有另一个分解式 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t f x q x q x q x =  其中 ( 1,2, , ) i q i t =  都是不可约多项式,于是 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s f x p x p x p x =  1 2 ( ) ( ) ( ) t =  q x q x q x (1) 我们对 s 作归纳法.当 s f x =1, ( ) 是不可约多项式.由定义必有 s t = =1 且 1 f x p x ( ) ( ) = 1 = q x( ) . 现在设不可约因式的个数为 s −1 时唯一性已证. 由(1), 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t p x q x q x q x  因此 1 p x( ) 必能除尽其中的一个,无妨设 1 1 p x q x ( ) ( ) . 因为 1 q x( ) 也是不可约多项式,所以有 1 1 1 p x c p x ( ) ( ) = （2） 在(1)式两边消去 1 q x( ) ,就有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s t p x p x c q x q x −  =  ,由归纳法假定 s t −=− 1 1 s t = （3） 并且适当排列次序之后有 1 2 2 1 2 p x c c q x ( ) ( ) − =  即 2 2 2 p x c q x ( ) ( ) = ,而 ( ) ( ),( 3, , ) i i i p x c q x i s = =  （4） (2),(,3),(4)合起来即为所要证的.这就证明了分解的唯一性. 应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式 的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 f x( ) 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为 1 的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是 f x( ) 的分解式成为 1 2 ( ) 1( ) 2( ) ( ) r r r s f x cp x p x p s x =  其中 c 是 f x( ) 的首项系数, 1 2 ( ), ( ), , ( ) s p x p x p x  是不同的首项系数为 1 的不可约多项式, 而 1 2 , , , s r r r  是正整数.这种分解式称为标准分解式. 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.我们知道,整数也有带余除 法,即 对于任意整数 a b b , , 0  ,都存在唯一的整数 q r, ,使 a qb r = + 其中0  r b