就没有了.反过来，具有这个性质的次数≥1的多项式一定是不可约的由此可知，不可约多项式(x)与 任一多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者p(x)f(x)或者(p(x),f(x)》=1.事实上，如果 (p(x),f(x)=d(x),那么d(x),或者是1或者是cp(x(c≠0).当d(x)=cp(x)时，就有p(x)f(x). 不可约多项式有下述的重要性质. 定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式∫(x),g(x),由p(x)f(x)g(x) 定推出p(x)f(x)或者px)g(x). 证明如果p(x)f(x),那么结论已经成立 如果p(x)不能整除f(x),那么由以上说明可知(p(x),f(x》=1.于是由定理4即得pxg() 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式(x)整除一些多项式 (x).(x).(x) 的乘积(x)5(x).f(),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个 下面来证明这一章的主要定理 因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上 :些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说如果有两个分解式 f(x)=p(x)p:(x)P.(x)=q(x)q(x).q(x) 那么必有s=1,并且适当排列因式的次序后有 p,(x)=C9(x,i=1,2,s 其中c,(0=1,2,.,s)是一些非零常数. 证明先证分解式的存在.我们对∫(x)的次数作数学归纳法 因为一次多项式都是不可约的，所以n=1时结论成立 设f(x)》=n,并设结论对于次数低于n的多项式已经成立 如果f(x)是不可约多项式，结论是显然的，无妨设f(x)不是不可约的，即有fx)=f(x)(x)其中 f(x),(x)的次数都低n于.由归纳法假定(x)和(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式 的乘积把(x),(x)的分解式合起来就得到的一个分解式 就没有了.反过来,具有这个性质的次数  1 的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式 p x( ) 与 任一多项式 f x( ) 之间只可能有两种关系, 或者 p x f x ( ) ( ) 或者 ( ( ), ( )) 1 p x f x = . 事实上, 如果 ( ( ), ( )) ( ) p x f x d x = ,那么 d x( ) ,或者是 1 或者是 cp x c ( )( 0)  .当 d x cp x ( ) ( ) = 时,就有 p x f x ( ) ( ) . 不可约多项式有下述的重要性质. 定理 5 如果 p x( ) 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式 f x g x ( ), ( ),由 p x f x g x ( ) ( ) ( ) 一定推出 p x f x ( ) ( ) 或者 p x g x ( ) ( ) . 证明 如果 p x f x ( ) ( ),那么结论已经成立. 如果 p x( ) 不能整除 f x( ) ,那么由以上说明可知 ( ( ), ( )) 1 p x f x = .于是由定理 4 即得 p x g x ( ) ( ) . 利用数学归纳法,这个定理可以推广为:如果不可约多项式 p x( ) 整除一些多项式 1 2 ( ), ( ), , ( ) s f x f x f x  的乘积 1 2 ( ) ( ) ( ) s f x f x f x  ,那么 p x( ) 一定整除这些多项式之中的一个. 下面来证明这一章的主要定理. 因式分解及唯一性定理 数域 P 上每一个次数  1 的多项式 f x( ) 都可以唯一地分解成数域 P 上 一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t f x p x p x p x q x q x q x =  =  那么必有 s t = ,并且适当排列因式的次序后有 ( ) ( ), 1,2, , i i i p x c q x i s = =  其中 ( 1,2, , ) i c i s =  是一些非零常数. 证明 先证分解式的存在.我们对 f x( ) 的次数作数学归纳法. 因为一次多项式都是不可约的,所以 n =1 时结论成立. 设  = ( ( )) f x n,并设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立. 如果 f x( ) 是不可约多项式,结论是显然的,无妨设 f x( ) 不是不可约的,即有 1 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) = 其中 1 2 f x f x ( ), ( ) 的次数都低 n 于.由归纳法假定 1 f x( ) 和 2 f x( ) 都可以分解成数域 P 上一些不可约多项式 的乘积.把 1 2 f x f x ( ), ( ) 的分解式合起来就得到的一个分解式