第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法 真实的弹性体都是空间物体,但当其形状和受力情况具有某些特点时,在数学上可按平 面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题,然后在直 角坐标系中来解平面问题 §1平面应变问题 11基本定理及其推论 平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。 几何特点:弹性体为母线与z轴平行的长柱体 物理特点:弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于xy平面,全与z无关,且它 们在xy平面内构成平衡力系 许多重要的工程 贝、涵洞和受内压 的圆管等。 图7.1 如同第六章的 Saint- Venant问题一样,我们仍采用半逆解法。对于本节的问题,既然弹 性体的形状和所受外力都不依赖于坐标z,可以想象弹性体中的变形也与坐标z无关 于是位移场(ux,vw)可作如下的预先假定 u=u(x,y, v=vx,y), w=0, (X,EG 其中G为柱体g的横截面。 满足条件(1.1)的弹性力学问题,通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建 立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(1.1),几何方程成为 E。= 从(1.2)可知,应变仅有“平面”上的分量sx、5,和y,且不依赖于z:而应变的三 个“z向”分量yx、yy和Er全部自动消失。第七章 弹性力学平面问题的直角坐标解法 真实的弹性体都是空间物体，但当其形状和受力情况具有某些特点时，在数学上可按平 面问题处理。本章先介绍平面应变问题、平面应力问题和广义平面应力问题，然后在直 角坐标系中来解平面问题。 §1 平面应变问题 1.1 基本定理及其推论 平面应变问题是在几何与物理两方面都有特点的弹性力学问题。 几何特点：弹性体为母线与 轴平行的长柱体。 物理特点：弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于 平面，全与 无关，且它 们在 平面内构成平衡力系。 许多重要的工程实际问题都具有上述两个特点，例如图 7.1 所示的水坝、涵洞和受内压 的圆管等。 图 7.1 如同第六章的 Saint-Venant 问题一样，我们仍采用半逆解法。对于本节的问题，既然弹 性体的形状和所受外力都不依赖于坐标 ，可以想象弹性体中的变形也与坐标 无关， 于是位移场 可作如下的预先假定 (1.1) 其中 为柱体 的横截面。 满足条件(1.1)的弹性力学问题，通常称为平面应变问题。现在来逐个考察第五章所建 立的边值问题的全部方程和全部边界条件。由于(1.1)，几何方程成为 (1.2) 从(1.2)可知，应变仅有“平面”上的分量 、 和 ，且不依赖于 ；而应变的三 个“ 向”分量 、 和 全部自动消失