银川能源学院《高签激学》救朱 第四章不定积分 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设)有原函数F(0),=x),且(x)可微，那么，根据复合函数微分法，有 d Fldx)l=d F(u)=F'(u)du=F'[dx)]ddx)=F'ldx)lo(x)dx, 所以 F'Tax)]o(x)dx=F'ldx)]dox)=F'(u)d u=d F(u)=d Fld(x)] 因此 JFTo(x)p'(x)dx=FTo(x)lo(x) =∫F'(u)du=∫dFw=∫dFLo(x]=Fo(x+C. 即 ∫fIox)p'(xdt=ff几oax)ho)=可fu)dlw=oa =[FW+Cqu==F凡Lx+C. 定理1设w具有原函数，=x)可导，则有换元公式 ∫f几ox)p'(x)d=f几opx)ox)=Jfu)du=Fu)+C=FLox]+C· 被积表达式中的dk可当作变量x的微分来对待，从而微分等式p(x)d=du 可以应用到被积表达式中. 在求积分∫gx)时，如果函数gw)可以化为gx)上几x]px)的形式，那么 ∫gx)dk=j/几o(x)o'x)dk-可fu)dtlu=p 例1.∫2cos2xdr=∫cos2x(2x)d=∫cos2xd(2x) =[cosudu=sinu+C=sin 2x+C. 例2J3+2=32x3+2=32x46+2 ==nl+c=n3+2*c 例3.∫2xedk=∫e(x2ydk=∫edex2)=e'd =e"+C=e+C. 例4小i-平=i-2yd=-2 =d0-r）=-w=+c =0-2+c 例5jmh==-c0 dh=-ilul+C =-In]cos x+C. 第6页银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 6 页 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 设 f(u)有原函数 F(u) u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有 d F[(x) ]d F(u)F (u)d u F [(x) ] d(x) F [(x) ](x)d x  所以 F [(x)](x)dx F [(x)] d(x) F (u)d u d F(u)d F[(x) ] 因此   F[(x)](x)dx  F[(x)]d(x)    F(u)du  dF(u)   dF[(x)] F[(x)]C  即 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f x d x f           [F(u) C] u  (x)  F[(x)]C 定理 1 设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式    f[(x)](x)dx f[(x)]d(x) f (u)duF(u)CF[(x)]C  被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待 从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中 在求积分  g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x) f[(x)](x)的形式 那么  g(x)dx ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f          例 1.   2cos2xdx  cos2x(2x)dx   cos2xd(2x)   cosudu sinuC sin 2xC  例 2. x dx x dx x        (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1     (3 2 ) 3 2 1 2 1 d x x dx u C u     ln | | 2 1 1 2 1  ln |32x|C 2 1  例 3.     xe dx  e x dx  e d x  e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e C e C u x     2  例 4. 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 2 1 x 1 x dx x x dx x dx            x d x   u du  u2 C 3 2 1 2 2 3 1 2 1 1 (1 ) 2 1   x 2 C 3 2 (1 ) 3 1  例 5.      d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan du u C u     ln | | 1 ln|cos x|C 