中学代数研究 证明， 1°当n=2时，命题成立。（反证法） 2°假i设m=时k之2)成立，即0>01=2，k且a,+4+.+,=ha2+a2+.+a2≥ 当n=k+1时，由a,>0,i=l,2,.,k+l,且a,+a2+.+a+a1=1 a+a2++a,2+an≥0-=0+ k 要证0=+a2≥即k+0-a广++h2k 1 k →(k+1'a12-2k+1a1+120 3.例题 例1证明：用票面为3角和5角的邮票可以支付任何n>7)角的邮资。 分析 1°当n=8时，命题成立。(8=3+5) 2°设n=k(k>7,k∈N)时命题成立。 k角邮资可能是：()完全用3角的邮票来支付：（②至少用一张5角的邮票来支付。 在)下，3角的邮票至少有3张。把它们换成两张5分的邮票便可支付k+1角的邮票。 在(2)下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付k+1角的邮票。 综合1°、2°，命题对于不小于8的所有自然数成立 例2平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。记n条直线的交点个数为 f(n). (1)求f2).f3.f4) (2)猜想f),并用数学归纳法证明。 分析 (①)f2)=1,f3)=3=1+2,f4)=6=1+2+3 =1+2++6-=l-l 1°当n=2,3,4时，命题成立。中学代数研究 9 证明： 1 当 n = 2 时，命题成立。（反证法） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1) 2( 1) 1 0 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0, 1,2, , 1 1 1 2 ( 2) 0, 1,2, , 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1  + − + +  + − + +  + +  − + −  + + + +           − + +         − +         −  − = − + + − + − = +  = + + + + + =  =   = + + + = + + +  + + + + + + + + + + + + + + + + + k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k i k k i k k k a k a k a k k a k k a k a a k a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a n k a i k a a a a k n k k a i k a a a a a a 要证 ，即 由归纳假设，得 得， ，且 当 时，由 ，且 假设 时 成立，即 ，且 。 。         ⒊例题 例 1 证明：用票面为 3 角和 5 角的邮票可以支付任何 n(n  7) 角的邮资。 分析 1 当 n = 8 时，命题成立。（ 8 = 3+ 5 ） 2 设 n = k(k  7, k  N) 时命题成立。 k 角邮资可能是：⑴完全用 3 角的邮票来支付；⑵至少用一张 5 角的邮票来支付。 在⑴下，3 角的邮票至少有 3 张。把它们换成两张 5 分的邮票便可支付 k +1 角的邮票。 在⑵下，把一张 5 角的邮票换成两张 3 角的邮票便可以支付 k +1 角的邮票。 综合 1、 2 ，命题对于不小于 8 的所有自然数成立。 例 2 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。记 n 条直线的交点个数为 f (n)。 ⑴求 f (2), f (3), f (4)。 ⑵猜想 f (n) ，并用数学归纳法证明。 分析 ⑴ f (2) =1, f (3) = 3 =1+ 2, f (4) = 6 =1+ 2 +3 ⑵ ( ) ( ) ( 1) 2 1 f n = 1+ 2 ++ n −1 = n n − 1 当 n = 2,3,4 时，命题成立