中学代数研究 Ⅱ在P(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k-)成立。 则P(nm)对一切自然数n都成立。 ()(螺旋归纳法)设A()、B(n)是两个与自然数n有关的命题，如果 IA()是成立的： Ⅱ假设A(k)成立，可以得到B(k)成立：假设B(k)成立，可以得到A(k+)成立。 则A(n)、B(n)对一切自然数n都成立。 2.在数学归纳法的教学中应注意 ()要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的区别。 观察一一归纳一一证明。 归纳法是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于全体对象的判断，属于归纳。 数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明。 (②)帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤，缺一不可。 例如不要】（奠基）。证明所有正整数都相等。 证：假设n=k时，第k个整 等于第k+1个整数，即k=k+1 两边都加上1，得到k+1=k+2,即第k+1个整数等于第k+2个整数 所以，n=k+1时命题也成立。 例如不要Ⅱ（递推步骤）法·费尔马(1601一1665) F,=22”+1F。=3,F=5,F=17,F=257,F=65537, F=4294967297=641×6700417 ②防止“貌合神离 例如，若a>00=L2m,且a+a++a,=1.求证：a2+a2++a2≥n≥2). 错证： 1°当n=2时，命题成立。（反证法） 2少官设当川=k时命题成立。即+a2++a之号 当n=k+1时，a2+a++a+a2之an小> 综合1°、2°，命题对于不小于2的所有自然数成立。 剖析：当n=k+1时，条件为a+a2++a4+a41=1,其中a,>0i=1,2,m)。所以，不能 套用a1+a2+.+ak=1的结论。 中学代数研究 8 Ⅱ在 P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k −1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑺（螺旋归纳法）设 A(n)、 B(n) 是两个与自然数 n 有关的命题，如果 Ⅰ A(1) 是成立的； Ⅱ假设 A(k) 成立，可以得到 B(k) 成立；假设 B(k) 成立，可以得到 A(k +1) 成立。 则 A(n)、 B(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⒉在数学归纳法的教学中应注意 ⑴要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归纳法的区别。 观察——归纳——证明。 归纳法是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于全体对象的判断，属于归纳。 数学归纳法是对给定结论予以证明，属于证明。 ⑵帮助学生正确理解数学归纳法。 ①数学归纳法中的两个步骤，缺一不可。 例如不要Ⅰ（奠基）。证明所有正整数都相等。 证：假设 n = k 时，第 k 个整数等于第 k +1 个整数，即 k = k +1 ； 两边都加上 1，得到 k +1= k + 2 ，即第 k +1 个整数等于第 k + 2 个整数 所以， n = k +1 时命题也成立。 例如不要Ⅱ（递推步骤）法·费尔马（1601－1665） 4294967297 641 6700417 2 1, 3, 5, 17, 257, 65537, 5 0 1 2 3 4 2 = =  = + = = = = = F F F F F F F n n ②防止“貌合神离” 例如，若 a 0(i 1,2, ,n) i  =  ，且 a1 + a2 ++ an =1 。求证： ( 2) 2 2 1 2 2 1 + + +  n  n a a  an 。 错证： 1 当 n = 2 时，命题成立。（反证法） 2 假设当 n = k 时，命题成立。即 k a a ak 2 2 1 2 2 1 + ++  当 n = k +1 时， 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 + + + + + +  + +   k k a k a a  ak ak k 综合 1、 2 ，命题对于不小于 2 的所有自然数成立。 剖析：当 n = k +1 时，条件为 a1 + a2 ++ ak + ak+1 =1 ，其中 a 0(i 1,2, ,n) i  =  。所以，不能 套用 a1 + a2 ++ ak =1 的结论