中学代数研究 证明：设M是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由 IleM: Ⅱ若k∈M,则k∈M 由归纳公理，得证。 (②)第一数学归纳法的一种变形（移动起点）设P()是关于自然数n的命愿，若 IP()在n=,时成立。其中m为任何一个具体的自然数 ⅡP(k)(k2n。)成立的假设下可以推出P(k+)成立。 则P(m)对一切自然数n(n之m。）都成立。 (3)第二数学归纳法（串值归纳法）设P(m)是关于自然数n的命题，若 IP()在n=l时成立。 Ⅱ假设P(m)对于所有适合m<k的自然数m成立，则P()成立 则P(m)对一切自然数n都成立。 (④)第二数学归纳法的一种变形（增多起点）设P()是关于自然数n的命愿，若 IP(n)在n=1,n=2时成立。 Ⅱ假设P(k),P(k+I)真，则P(k+2)真。 则P(m)对一切自然数n都成立 (⑤)跳跃式归纳法（加大跨度）设P()是关于自然数n的命题，若 IP,P(2).,P0为真命题 Ⅱ在P(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+)成立。 则P(n)对一切自然数n都成立。 (⑥)（反向归纳法）设P()是关于自然数n的命题，若 I有无限多个值使P(m)成立。中学代数研究 7 证明：设 M 是使命题成立的所有自然数组成的集合，则由 Ⅰ 1 M ； Ⅱ若 k M ，则 k  M + 由归纳公理，得证。 ⑵第一数学归纳法的一种变形（移动起点）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n = n0 时成立。其中 0 n 为任何一个具体的自然数。 Ⅱ P(k) （ n0 k  ）成立的假设下可以推出 P(k +1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n （ n  n0 ）都成立。 ⑶第二数学归纳法（串值归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1 时成立。 Ⅱ假设 P(m) 对于所有适合 m  k 的自然数 m 成立，则 P(k) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑷第二数学归纳法的一种变形（增多起点）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1， n = 2 时成立。 Ⅱ假设 P(k), P(k +1) 真，则 P(k + 2) 真。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑸跳跃式归纳法（加大跨度）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(1), P(2), ,P(l) 为真命题。 Ⅱ在 P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k + l) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立。 ⑹（反向归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ有无限多个值使 P(n) 成立