中学代数研究 a,B∈Z,则 a-BeZ+-a>B a-BeZ→a<B a-B=0→a=B ②顺序性质 Z是一个全序集，但不是良序集（每一个非空子集都有最小元）： 保持离散性、阿基米德性。 (亿，+)是交换群，（亿，）是半群，而且Z中乘法对加法的分配律成立。因此，（亿，+，）是环。 (补充)基本概念 群-一G是一个非空集合，。是G上的一个代数运算。即a,b∈G,有aob∈G且满足 (I)结合律，即a,b,c∈G,有(aob)oc=ao(boc ②)G中有元素e,a∈G,有eoa=aoe=a 3)对G中每个元素a,有元素b∈G,使aob=boa=e,则称G关于“。”构成一个群 记作(G,)。 环一一R是一个非空集合，如果在R上定义两个代数运算，分别称为加法(+)和乘法⊙，并且满 足 ()R关于加法成为一个交换群： (②)a,b,ceR,有(a●b)c=a(bc): (3)Va,b,ceR,有a(b+c=a●b+a●c,(b+ca=ba+ca 则称(R+,)构成一个环。 四、数学归纳法 1数学归纳法的几种形式 ()(第一数学归纳法)设P()是关于自然数n的命题，若 IP(n)在n=l时成立 ⅡP(k)(k是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+)成立 则P(n)对一切自然数n都成立。 中学代数研究 6      − =  = −        − +               0 , , Z Z Z － 则 ②顺序性质 Z 是一个全序集，但不是良序集（每一个非空子集都有最小元）； 保持离散性、阿基米德性。 (Z,+) 是交换群， (Z, •) 是半群，而且 Z 中乘法对加法的分配律成立。因此， (Z,+, •) 是环。 （补充）基本概念： 群——G 是一个非空集合，  是 G 上的一个代数运算。即 a,b G, 有 a bG 且满足 ⑴结合律，即 a,b, c G, 有 (a  b) c = a (b  c) ⑵ G 中有元素 e，aG ，有 e  a = a  e = a ⑶对 G 中每个元素 a ，有元素 bG ，使 a b = b  a = e ，则称 G 关于“  ”构成一个群， 记作 (G, )。 环—— R 是一个非空集合，如果在 R 上定义两个代数运算，分别称为加法 (+) 和乘法 (•) ，并且满 足： ⑴ R 关于加法成为一个交换群； ⑵ a,b,c  R, 有 (a •b)• c = a • (b • c) ； ⑶ a,b,c  R, ，有 a • (b + c) = a •b + a • c,(b + c)• a = b • a + c • a 。 则称 (R,+, •) 构成一个环。 四、数学归纳法 ⒈数学归纳法的几种形式 ⑴（第一数学归纳法）设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 Ⅰ P(n) 在 n =1 时成立 Ⅱ P(k) （ k 是任意自然数）成立的假设下可以推出 P(k +1) 成立。 则 P(n) 对一切自然数 n 都成立