中学代数研究 (2)关于自然数系的几点说明 2.公理系统的 导出两个矛盾的命题。 3整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 (3)自然数和0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。1993年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。 从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。 g,)便，以(，头使，{外 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列0,12,3，. 三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积N×N上二元关系(a,b)~(C,d)当且仅当a+d=b+c,容易知道这是一个等价 关系，记等价类a,可=a-b,等价类集合记为Z=a-ba,beN},并定义Z上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) 2(a-b)-(c-d)=(a-b)+(d-ch 3)(a-bXc-d)=(ac+bd)-(ad+bc). ④a-b≤c-d当且仅当a+dsb+c 性质： [整数加法、乘法运算与代表元选择无关： ①保留N性质 整数的加法满足结合律和交换律： 整数的乘法满足结合律和交换律： 整数的乘法对加法的分配律 ②（增加的性质）Z的减法封闭，引入零元、负元。 零元：，l):(6,a为a,b的负元，记为-(a,b) 顺序： ①顺序定义中学代数研究 5 ⑵关于自然数系的几点说明 ⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会推 导出两个矛盾的命题。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 ⑶自然数和 0 “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 我国数学教科书中在 20 世纪 90 年代之前一直没有把 0 作为自然数。1993 年《中华人民共和 国国家标准》中《量和单位》311 页规定自然数包括 0。 从集合论的角度看，把 0 作为自然数比较合理。 ,,,,(,,,, ) 将这一系列集合所对应的基数看成自然数列 0,1,2,3,  三、从自然数系到整数环 德国著名数学家克罗内克有一句名言：“上帝创造了自然数，其它的数都是人造的。” 定义：笛卡儿积 N N 上二元关系 (a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + d = b + c ，容易知道这是一个等价 关系，记等价类 (a,b) = a − b ，等价类集合记为 Z = a −b | a,b N ，并定义 Z 上加法、减法、 乘法运算与顺序关系如下： ⑴ (a −b)+ (c − d) = (a + c)−(b + d); ⑵ (a −b)−(c − d) = (a −b)+ (d − c); ⑶ (a −b)(c − d) = (ac +bd)−(ad +bc); ⑷ a − b  c − d当且仅当a + d  b + c 性质： ①        整数的乘法对加法的分配律 整数的乘法满足结合律和交换律； 整数的加法满足结合律和交换律； 整数加法、乘法运算与代表元选择无关； 保留N性质 ②（增加的性质） Z 的减法封闭，引入零元、负元。 零元： (1,1) ； (b,a)为(a,b)的负元，记为− (a,b)。 顺序： ①顺序定义