中学代数研究 (a)运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且()a+1=a:2a+b=(a+b). 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“”，由于它，对任何a,b∈N,有唯一确定的a+b∈N, 并且0a1=a(2)ab*=a-b+a 减法：设a,b∈N,若存在x∈N,使b+x=a,则称x为a减去b的差，记作a-b,这里a叫 做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设a,beN,若存在x∈N,使bx=a,则称x为a除以b的商，记作ab,这里a叫做 被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例1证明2+3=5 证2+1=2*=3,2+2=2+1=(2+1)°=3*=4 .2+3=2+2*=(2+2)=4°=5 例2证明23=6 证21=222=21=21+2=4 23=2.2*=22+2=4+2=6 (亿)运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律：乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数a与a之间不存在自然数b,使a<b<a 阿基米德性：对任意a,b∈N,必有neN,)na>b。 (右分配律)对任何a,b,c∈N,总有(a+b)c=ac+bc 证设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 (a+b)1=a+b=a-l+b-l,1∈M 假定c∈M,则 (a+b).c*=(a+b)c+(a+b)=ac+bc+a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac*+bc" 于是c∈M,因此，M=N又由a、b的任意性，得证。 4 中学代数研究 4 (a) 运算定义 加法：自然数的加法是一种对应关系“+”，由于它，对任何 a,b  N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( ) ( ) + + + 1 a +1 = a ; 2 a + b = (a + b) 。 乘法：自然数的乘法是一种对应关系“·”，由于它，对任何 a,b  N ，有唯一确定的 a +bN ， 并且 ( )a  = a ( )a b = a b + a + 1 1 ; 2 。 减法：设 a,b  N ，若存在 x N ，使 b + x = a ，则称 x 为 a 减去 b 的差，记作 a −b ，这里 a 叫 做被减数，b 叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 除法：设 a,b  N ，若存在 x N ，使 bx = a ，则称 x 为 a 除以 b 的商，记作 a | b ，这里 a 叫做 被除数，b 叫做除数。求两数商的运算叫做除法。 例 1 证明 2 +3 = 5 2 3 2 2 (2 2) 4 5 2 1 2 3 2 2 2 1 (2 1) 3 4,  + = + = + = = + = + = + = + = = + + = 证 +＝ ， + + +  例 2 证明 23 = 6 2 3 2 2 2 2 2 4 2 6 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 4,   =  =  + = + =  =  =  =  + = + 证 ， + +  (b) 运算性质 加法的唯一性、结合律、交换律；乘法的唯一性、结合律、交换律。 自然数列的离散性：任意两个相邻的自然数 a 与 + a 之间不存在自然数 b ，使 + a  b  a 。 阿基米德性：对任意 a,b  N ，必有 n  N, na  b 。 （右分配律）对任何 a，b，cN ，总有 (a + b) c = ac + bc ( ) 于是 ， 因此， 又由 、 的任意性，得证。 假定 ，则 证 设使上面等式成立的所有的 组成的集合为 。 c M M N a b a b c a b c a b ac bc a b ac a bc b ac bc c M a b a b a b M c M . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1, 1  = +  = + + + = + + + = + + + = +  +  = + =  +    + + + + 