例21、已知点电荷q在空间所产生的电场在q为r处电位大小为:%)=n, 求:1)以q所在的位置为坐标原点建立直角坐标系,表达出电位场的空间函 数关系,进一步计算出空间任意点的电位场梯度;2)若q所在的位置不是坐 标原点,q在空间的直角坐标为P(xyz),重复1)的步骤。 解:1)由于q处于坐标原点,空间任意一点P(x2yz)到q点的距离即为该点的 矢径大小r=x2+y2+z,电位为Q2√x2+y2+ 0;0q O三 电位的梯度表达为 a ay a476 x2+22+2 +y+ 4 tEO 4 y+2 2)由于q处于点P(xyz),空间任意一点P(xy,z)到q点的距离大小为 y=(x-x2+0y-y2+(a-22 Vo=(i+j+k) (-xy2(y-y2+(=-x1)2(2.6) q(x-x)+0y-y+(2-2从 gr-r 0[(x-xy2+(y-y2+(2-)22 P(x',y,z”) P(x,, z) P(x,, z) 图2-1电荷处于坐标原点 电荷处于空间(x"y,z)2 例 2-1、已知点电荷 q在空间所产生的电场在 q为 r处电位大小为: r q 1 4 (r) pe0 j = ， 求：1）以 q 所在的位置为坐标原点建立直角坐标系，表达出电位场的空间函 数关系，进一步计算出空间任意点的电位场梯度；2）若 q 所在的位置不是坐 标原点，q 在空间的直角坐标为 P(x¢,y¢,z¢), 重复 1）的步骤。 解：1）由于 q 处于坐标原点，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离即为该点的 矢径大小 2 2 2 r = x +y +z ,电位为 电位的梯度表达为 2）由于 q 处于点 P¢ (x¢,y¢,z¢)，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离大小为 2 2 2 r = (x- x ¢) +(y- y ¢) +(z-z ¢) （2.6） 2 2 2 0 1 4πε x y z q + + j = r πε r q r r πε q (x y z ) xi yj zk πε q πε x y z q k) z j y i x (         2 0 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 1 4 4 4 1 4 =- = - + + + + =- ¶ + + ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñj = 3 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 0 4 - - - - - - 4 - - - 1 4 ( r r r r πε q [(x x) (y y) (z z) ] (x x)i (y y)j (z z)k πε q πε (x x) (y y) (z z) q k) z j y i x - ¢ - ¢ =- ¢ + ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ =- ¶ ¢ + ¢ + ¢ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ =           j q P(x’,y’,z’) r¢ r r- r¢ r P(x,y,z) • • q P(x,y,z) 图 2-1 电荷处于坐标原点 电荷处于空间（x¢,y¢,z¢）