V(x,y2-) aV(x v2) av(x,y j- a(x,y,-) ax 对于空间给定的点来说,只要标量函数关系确定,那么该向量是确定的。标量 场V(x,y,z在两点P(x,y,z)与P(x,y,z)之间的变化量为 △V=VV(xy,z)·△ 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以(2.3)所表示的向量与空 间这两点之间位移M的点积 以△l、7分别表示微量位移向量△的大小和单位向量,将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 △(x,y,z) v(x,y, =)/ △l (2.5) 上式表示空间标量场Vxyz沿某一方向对空间距离的变化率等于向量V V(x2y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题: 问题:由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大? 为回答上述问题,我们考察(25)式,只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量vv(xy)致时,两个向量的夹角为0,变化率达到最大值,可见 VV(,y,z)就是我们上述所定义的标量场v(x,z)在P(x,y,)处的梯度。 函数场梯度的定义:在标量场中,空间某点P(xyz)处的梯度为算子〈V’对 标量场作用的结果,即式(22)即为梯度向量的定义式1 k z V x y z j y V x y z i x V x y z V x y z    ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) (2.3) 对于空间给定的点来说，只要标量函数关系确定，那么该向量是确定的。标量 场 V(x, y, z)在两点 P(x’, y’, z’)与 P(x, y, z)之间的变化量为 l  DV = ÑV(x,y, z)×D (2.4) 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以（2.3）所表示的向量与空 间这两点之间位移Dl 的点积。 以 l l  D 、 分别表示微量位移向量 l  D 的大小和单位向量，将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 V x y z l l V x y z  =Ñ × D D ( , , ) ( , , ) （2.5） 上式表示空间标量场 V(x,y,z)沿某一方向对空间距离的变化率等于向量Ñ V(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题： 问题：由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大？ 为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量Ñ V(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为 0，变化率达到最大值，可见 ÑV(x,y,z) 就是我们上述所定义的标量场 V(x,y,z)在 P(x,y,z)处的梯度。 函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点 P(x,y,z)处的梯度为算子‘Ñ ’对 标量场作用的结果，即式（2.2）即为梯度向量的定义式