第二讲:向量分析与场论(I 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式:若某一标量场的函数关系已经确定,为V=Tx2y,z), 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度?(假设该点坐标为P(x,y,z)) 在P(x,y,z)点附近任意点P(xy,)的标量场为v(xy,z),则两点标量场值差 可由泰勒展开为: △′=(x2y32)-(x,y,z) oV(xv2 av(x,y, 2) (y-y) av(x, y, ay a △=K(x,y,=)-(x,y,z) av(x,y,2 av(x, y, △v+ W(x,y2)△ a(x,y,-):,O(xy,z),O|(x,y) k)·(△x+y+△k) av(x,y, 2),=ov(x,y, 2),ov(x,y, 2) 为简明起见,令△x=x-x、△y=y-y、△z=z-z则上式又可以写为 这里,M=△xi+△yj+△zk为P(x,y,z)与P(x,y,z两点之间的位移,定义 个向量算子“V V (2.2 以算子‘V对标量场Ⅴ(x,y,a)的作用结果为一向量,该向量也是空间的函数第二讲：向量分析与场论（II） 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为 V=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为 P(x, y,z)） 在 P(x, y,z)点附近任意点 P(x’,y’,z’)的标量场为 V(x’,y’,z’)，则两点标量场值差 可由泰勒展开为： ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z z V x y z y y y V x y z x x x V x y z V V x y z V x y z ¢- ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ ¢- + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) l z V x y z k y V x y z j x V x y z i k xi yj zk z V x y z j y V x y z i x V x y z z z V x y z y y V x y z x x V x y z V V x y z V x y z           × D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = × D +D +D ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = D ¶ ¶ D + ¶ ¶ D + ¶ ¶ = D = ¢ ¢ ¢ - (2.1) 为简明起见，令Dx = x’- x 、Dy = y’- y、Dz= z’- z 则上式又可以写为 这里，Dl = Dx i +Dy j +Dz k 为 P(x’, y’ , z’)与 P(x, y, z)两点之间的位移，定义一 个向量算子‘Ñ ’ z k y j x i ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ Ñ=    (2.2) 以算子‘Ñ’对标量场 V(x, y, z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数