第1期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 .85. 糙语义推理是针对公式组成的前提和结论的粗糙逻 辑值关系的讨论，而直觉模糊粗糙逻辑推理是针对 2)因为片0，则，()<分且()≥ 直觉模糊公式的前提和结论的直觉模糊粗糙逻辑值 所以对于T(I中一→pI)(x)=(v(x)Vu(x), 关系进行的讨论。经典逻辑值只有真与假2个 值，直觉模糊粗糙逻辑值有5个：直觉模糊真、直觉 ()Λ(》，即有()V,()≥子且 模糊假、直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假、直觉模 糊粗糙不相容，其语义自然要丰富得多，主要性质在 ,(x)A"(x)<乞，因此可得结论。 以下的定理中给出。 3)因为片b一9，则()V4,(因<且 4直觉模糊粗糙逻辑语义推理 ()A()≥所以）< 1 4.1含有“→”公式 这里主要讨论T(1中→pI)(x)和T(F1中→ u()<分且u()≥分，(e)≥，散m, 1 1 P|)(x)的一些性质，令 片wP,因此可得结论。 T(I中I)(x)=A(x)=(u(x),'(x)） 定理2 T(IpI)(x)=B(x)=(u(x),'B(x))》 1)若卡p,则卡中一p,即若p直觉模糊粗 T(R1中1)(x)=A(x)=(u(x),va(x)》 糙真，则中→p直觉模糊粗糙真； T(R1pI)(x)=B(x)=(uB(x),'(x)） 2)若片p,则卡中一→p,即若中直觉模糊粗 则有 糙假，则中→9直觉模糊粗糙真； T(I中→pI)(x)= 3)若片中一p,则上中且片mP,即若中一9 T(I7中VpI)(x)=T(1中1U川p1)(x)= 直觉模糊粗糙假，则中直觉模糊粗糙真，P直觉模 T(I )(x)VT(I1)(x)= 糊粗糙假。 (va(x),a(x)〉U(ug(x),'s(x)〉= 证明类似定理1可证。 (v(x)VRg(x),(x)A vg(x)) 定理3 1)若卡Mp,则卡m中一P,即若p直觉模糊 T(F1中→p1)(x)= 真，则中→p直觉模糊粗糙真； T(R17中VpI)(x)=T(R(I中lUlol))(x)= 2)若片中，则上m中一p,即若中直觉模糊 T(R-1中1)(x)VT(RI中I)(x)= 假，则中→p直觉模糊粗糙真。 (v(x),(x)〉U〈u(x）,'(x)〉= 证明 〈'(x)VB(x),(x)AV(x)） 1)因为me则()≥方且()<分 设中、p是近似空间M=(U,R)上的直觉模糊 公式，则有下面的定理1~6成立。 又由于1 PIERIOI,所以()≥2且v(x)< 定理1 1)若上P,则乍n中→p,即若p直觉模糊 ),因此对于T(页1中p1)(x)=("(x)V 真，则中→p直觉模糊真； 2)若片M中，则卡m中→p,即若中直觉模糊 u(x),(x)N"(x)》,总有(x)V(x)≥2 假，则中→p直觉模糊真； 3)若片中→p,则卡中且片9，即若中一 且：()An()<之，因此可得结论。 P直觉模糊假，则中直觉模糊真，p直觉模糊假。 2)同理可证。 证明 在经典命题逻辑语义推理和模糊粗糙逻辑推理 1)因为非mp,则a(x)≥2且v(x)<2, 中，若（中→p)八中为真，则p也为真，记作（中→ p)A中卡p].下面的定理表明：将其变为直觉模糊 所以对于T(I中→PI)(x)=((x)VuB(x), 真和直觉模糊粗糙真后，上述结论仍成立。 么()A(》,显然有()V4,()≥行且 定理4 1)若上w(中→p)A中，则FmP; (A)<子，因此可得结论。 2)若上（中→p)∧中，则上mp,糙语义推理是针对公式组成的前提和结论的粗糙逻 辑值关系的讨论，而直觉模糊粗糙逻辑推理是针对 直觉模糊公式的前提和结论的直觉模糊粗糙逻辑值 关系进行的讨论［１１］ 。 经典逻辑值只有真与假 ２ 个 值，直觉模糊粗糙逻辑值有 ５ 个：直觉模糊真、直觉 模糊假、直觉模糊粗糙真、直觉模糊粗糙假、直觉模 糊粗糙不相容，其语义自然要丰富得多，主要性质在 以下的定理中给出。 ４ 直觉模糊粗糙逻辑语义推理 ４．１ 含有“ → ”公式 这里主要讨论 Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） 和 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） 的一些性质，令 Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｔ（｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｂ（ｘ） ＝ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ － （ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ），νＡ －（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｂ － （ｘ） ＝ 〈μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ）〉 则有 Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ∪ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ），μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ ｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ）（ｘ） ＝ Ｔ（Ｒ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ））（ｘ） ＝ ┐Ｔ（Ｒ －｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ∨ Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ －（ｘ），μＡ －（ｘ）〉 ∪ 〈μＢ －（ｘ），νＢ －（ｘ）〉 ＝ 〈νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ），μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ）〉 设 ϕ、φ 是近似空间 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上的直觉模糊 公式，则有下面的定理 １～６ 成立。 定理 １ １）若 ｜＝ ＩＦＭ φ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊 真，则 ϕ → φ 直觉模糊真； ２）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊 假，则 ϕ → φ 直觉模糊真； ３）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ → φ ，则 ｜＝ ＩＦＭ ϕ 且 ｜≠ＩＦＭ φ ，即若 ϕ → φ 直觉模糊假，则 ϕ 直觉模糊真， φ 直觉模糊假。 证明 １） 因为｜＝ ＩＦＭ φ ，则 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， 所以对于 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 显然有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２） 因为 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， 所以对于 Ｔ（ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ）， μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ）〉， 即有 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ３） 因为 ｜≠ＩＦＭ ϕ → φ ，则 νＡ（ｘ） ∨ μＢ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ∧ νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 所 以 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ， μＢ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＢ（ｘ） ≥ １ ２ ， 故｜＝ＩＦＭ ϕ， ｜≠ＩＦＭ φ， 因此可得结论。 定理 ２ １）若 ｜＝ ＩＦＲφ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊粗 糙真，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ２）若 ｜≠ＩＦＲφ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊粗 糙假，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ３）若 ｜≠ＩＦＲϕ→φ ，则 ｜＝ＩＦＲϕ 且 ｜≠ＩＦＲφ ，即若 ϕ→φ 直觉模糊粗糙假，则 ϕ 直觉模糊粗糙真， φ 直觉模 糊粗糙假。 证明 类似定理 １ 可证。 定理 ３ １）若 ｜＝ ＩＦＭ φ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 φ 直觉模糊 真，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真； ２）若 ｜≠ＩＦＭ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＲϕ → φ ，即若 ϕ 直觉模糊 假，则 ϕ → φ 直觉模糊粗糙真。 证明 １） 因为｜＝ ＩＦＭ φ ，则 μＢ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ（ｘ） ＜ １ ２ ， 又由于 ｜ φ ｜ ⊆ Ｒ ｜ φ ｜ ，所以 μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ ，因此对于 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ → φ ｜ ）（ｘ） ＝ 〈νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ），μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ）〉 ，总有 νＡ －（ｘ） ∨ μＢ －（ｘ） ≥ １ ２ 且 μＡ －（ｘ） ∧ νＢ －（ｘ） ＜ １ ２ ，因此可得结论。 ２）同理可证。 在经典命题逻辑语义推理和模糊粗糙逻辑推理 中，若 （ϕ → φ） ∧ ϕ 为真，则 φ 也为真，记作 （ϕ → φ） ∧ϕ ｜＝φ ［１２］ ．下面的定理表明：将其变为直觉模糊 真和直觉模糊粗糙真后，上述结论仍成立。 定理 ４ １）若 ｜＝ ＩＦＭ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＭ φ ； ２）若 ｜＝ ＩＦＲ（ϕ → φ） ∧ ϕ ，则 ｜＝ ＩＦＲφ ． 第 １ 期 申立平，等：直觉模糊粗糙逻辑的语义及其推理 ·８５·