·84· 智能系统学报 第9卷 为方便，记A(x)=(u,(x),v(x)》,U上所有直 M中粗糙不相容。 觉模糊集构成的集合为IFS(U). 定义5设M=(U,R)为Pawlak近似空间，T 定义2[)】设U是一个非空有限论域，A,B∈ 为直觉模糊概念的真值，中为U上的直觉模糊概 IFS(U),且具有下面的形式： 念，‖为解释函数（直觉模糊映射），‖：W→ A(x)=(u(x),A(x)》 IF(U),1中1→A∈IF(U),W为全体模糊概念的集 B(x)=(uB(x),'B(x)》 合，F(U)为全体直觉模糊集，ㄧ中I的直觉模糊真 规定序及运算如下： 值定义为T(1中1)(x)=A(x)=u(x),(x)）,其 1)ACB当且仅当u,(x)≤uB(x)且 直觉模糊粗糙真值定义为 v4(x)≥vs(x),Vx∈U; T(R1中I)(x)=A(x)=(u(x),'a(x)） 2)A=B当且仅当u4(x)=uB(x)且V(x)= T(R1中|)(x)=A(x)=(μ(x),'(x)） vB(x),Vx∈U; 则直觉模糊粗糙逻辑由粗糙逻辑中的5个逻辑值增 3)A nB=(x,min(x)ug(x),maxv(x), 加到无限多个值。做以下规定： vs(x)}〉Ix∈U; 4)A UB=(x,max (x)ug(x),minv(x), 1)若()≥且()<行，则称中在n vs(x)}〉Ix∈U; 中直觉模糊真，记作上中； 5)AC={(x,P(x),u(x)）|x∈U}. 显然，(IFS(U),C〉是一个偏序集。 2)若()<2且(x)≥2，则称b在M 定义3町设(U,R)是Pawlak近似空间， 中直觉模糊假，记作片中： U/R={X1,X2,…,X}是U上由R导出的所有等价 3)若)≥且()<行则称中在N 类。直觉模糊集B在U中的上、下近似分别记为B、 中直觉模糊粗糙真，记作F中； B,且被定义为U/R={X,X2,…,Xn}上的直觉模 糊集B,B:U/R→[0,1]×[0,1]，使得 4到若4()<行且4()≥分，则称中在M B(X;)={(x,sum(x),inf"e(x)）1x∈U 中直觉模糊粗糙假，记作片中； B(X)={(x,ina(x),uΨe(x)）1xeU川 5)若(x)≥2，"()<2且4(x)<2 式中：i=1,2,…,n.则称(B,B)为一个直觉模糊粗 ”(x)≥2，则称中在M中直觉模糊粗糙不相容。 糙集。 2直觉模糊粗糙逻辑的概念 3直觉模糊粗糙集的逻辑运算 在定义直觉模糊粗糙逻辑概念之前首先给出粗 下面在直觉模糊粗糙逻辑语义的基础上，讨论 糙逻辑的定义。 直觉模糊粗糙逻辑的运算。 定义41o)设M=(U,R)为Pawlak近似空间， 定义6设中、P是近似空间K=(U,R)上直觉 中为M下的原子公式，Ⅱ为解释函数，I: 模糊公式，其真值分别为T(1中I)和T(1p1), 则有 W→P(U),I中1→X∈P(U),W为所有粗糙逻辑 公式的集合，P(U)为U的幂集，则粗糙逻辑由经典 1)T(1中1)=T(1中1)， 的二值逻辑增加到5个逻辑真值：真、假、粗糙真、粗 2)T(1中∧p1)=T(1中1nlpI)= 糙假和粗糙不相容。 T(1Φ1)∧T(IpI), 1)若1中1=U,则称公式中在M中真，记作 3)T(1中VpI)=T(1中l Ul pl)= T(1中1)VT1pI), 上Mφ； 4)T(1中→pI)=T(17中V9I)= 2)若1中1≠U,则称公式中在M中假，记作 T(IΦ1U1p1）=7T(1中I)VT(IpI), 片φ； 5)T(1中p1)=T(1中→p1∩l中→pl)= 3)若R1中1=U,则称公式中在中M粗糙真，记 T(1中→p1)AT(1p→中1)。 作卡R中； 根据上述概念，给出直觉模糊粗糙逻辑的语义 4)若R1中1=☑，则称公式中在M中粗糙假， 推理。 记作片中； 在经典命题逻辑中，语义推理是围绕公式的真 5)若R1中1=U且R1中1=☑，则称公式中在 值所展开的关于前提与结论的真值关系的讨论，粗为方便，记 Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉，Ｕ 上所有直 觉模糊集构成的集合为 ＩＦＳ（Ｕ） ． 定义 ２ ［９］ 设 Ｕ 是一个非空有限论域， Ａ，Ｂ ∈ ＩＦＳ（Ｕ） ，且具有下面的形式： Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｂ（ｘ） ＝ 〈μＢ（ｘ），νＢ（ｘ）〉 规定序及运算如下： １ ） Ａ ⊆ Ｂ 当 且 仅 当 μＡ（ｘ） ≤ μＢ（ｘ） 且 νＡ （ｘ） ≥νＢ（ｘ），∀ｘ ∈ Ｕ ； ２） Ａ ＝ Ｂ 当且仅当 μＡ（ｘ） ＝ μＢ（ｘ） 且 νＡ（ｘ） ＝ νＢ（ｘ），∀ｘ ∈ Ｕ ； ３） Ａ ∩ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，ｍｉｎ｛μＡ（ｘ），μＢ（ｘ）｝，ｍａｘ｛νＡ（ｘ）， νＢ（ｘ）｝〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ； ４） Ａ ∪ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，ｍａｘ｛μＡ（ｘ），μＢ（ｘ）｝，ｍｉｎ｛νＡ（ｘ）， νＢ（ｘ）｝〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ； ５） Ａ Ｃ ＝ ｛〈ｘ，νＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ． 显然， 〈ＩＦＳ（Ｕ）， ⊆〉 是一个偏序集。 定义 ３ ［９］ 设 （Ｕ，Ｒ） 是 Ｐａｗｌａｋ 近 似 空 间， Ｕ／ Ｒ ＝｛Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｎ ｝ 是 Ｕ 上由 Ｒ 导出的所有等价 类。 直觉模糊集 Ｂ 在 Ｕ 中的上、下近似分别记为 Ｂ、 Ｂ ，且被定义为 Ｕ／ Ｒ ＝ ｛Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｎ ｝ 上的直觉模 糊集 Ｂ，Ｂ：Ｕ／ Ｒ → ［０，１］ × ［０，１］ ，使得 Ｂ（Ｘｉ） ＝ ｛〈ｘ，ｓｕｐ ｘ∈Ｘｉ μＢ（ｘ）， ｉｎｆ ｘ∈Ｘｉ νＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｂ（Ｘｉ） ＝ ｛〈ｘ， ｉｎｆ ｘ∈Ｘｉ μＢ（ｘ），ｓｕｐ ｘ∈Ｘｉ νＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 式中： ｉ ＝ １，２，…，ｎ ．则称 （Ｂ，Ｂ） 为一个直觉模糊粗 糙集。 ２ 直觉模糊粗糙逻辑的概念 在定义直觉模糊粗糙逻辑概念之前首先给出粗 糙逻辑的定义。 定义 ４ ［１０］ 设 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 为 Ｐａｗｌａｋ 近似空间， ϕ 为 Ｍ 下 的 原 子 公 式， ‖ 为 解 释 函 数， ‖： Ｗ →Ｐ（Ｕ） ， ｜ ϕ ｜ → Ｘ ∈ Ｐ（Ｕ） ， Ｗ 为所有粗糙逻辑 公式的集合， Ｐ（Ｕ） 为 Ｕ 的幂集，则粗糙逻辑由经典 的二值逻辑增加到 ５ 个逻辑真值：真、假、粗糙真、粗 糙假和粗糙不相容。 １）若 ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中真，记作 ｜＝ Ｍ ϕ ； ２）若 ｜ ϕ ｜ ≠ Ｕ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中假，记作 ｜≠Ｍ ϕ ； ３）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ ，则称公式 ϕ 在中 Ｍ 粗糙真，记 作 ｜＝ Ｒϕ ； ４）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ ∅ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中粗糙假， 记作 ｜≠Ｒϕ ； ５）若 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ Ｕ 且 Ｒ ｜ ϕ ｜ ＝ ∅ ，则称公式 ϕ 在 Ｍ 中粗糙不相容。 定义 ５ 设 Ｍ ＝ （Ｕ，Ｒ） 为 Ｐａｗｌａｋ 近似空间， Ｔ 为直觉模糊概念的真值， ϕ 为 Ｕ 上的直觉模糊概 念，‖ 为 解 释 函 数 （ 直 觉 模 糊 映 射）， ‖：Ｗ → ＩＦ（Ｕ）， ｜ ϕ ｜ → Ａ ∈ ＩＦ（Ｕ），Ｗ 为全体模糊概念的集 合， ＩＦ（Ｕ） 为全体直觉模糊集， ｜ ϕ ｜ 的直觉模糊真 值定义为 Ｔ（｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉，其 直觉模糊粗糙真值定义为 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ（ｘ） ＝ 〈μＡ（ｘ），νＡ（ｘ）〉 Ｔ（Ｒ ｜ ϕ ｜ ）（ｘ） ＝ Ａ － （ｘ） ＝ 〈μＡ －（ｘ），νＡ －（ｘ）〉 则直觉模糊粗糙逻辑由粗糙逻辑中的 ５ 个逻辑值增 加到无限多个值。 做以下规定： １）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊真，记作 ｜＝ ＩＦＭ ϕ ； ２）若 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊假，记作 ｜≠ＩＦＭ ϕ ； ３）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ＜ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙真，记作 ｜＝ ＩＦＲϕ ； ４）若 μＡ （ｘ） ＜ １ ２ 且 νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙假，记作 ｜≠ＩＦＲϕ ； ５）若 μＡ（ｘ） ≥ １ ２ ， νＡ（ｘ） ＜ １ ２ 且 μＡ（ｘ） ＜ １ ２ ， νＡ（ｘ） ≥ １ ２ ，则称 ϕ 在 Ｍ 中直觉模糊粗糙不相容。 ３ 直觉模糊粗糙集的逻辑运算 下面在直觉模糊粗糙逻辑语义的基础上，讨论 直觉模糊粗糙逻辑的运算。 定义 ６ 设 ϕ、φ 是近似空间 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） 上直觉 模糊公式，其真值分别为 Ｔ（ ｜ ϕ ｜ ） 和 Ｔ（ ｜ φ ｜ ） ， 则有 １） Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ）， ２） Ｔ（｜ ϕ ∧ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ∩｜ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∧ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ３） Ｔ（｜ ϕ ∨ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ４） Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ∨ φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ┐ϕ ｜ ∪｜ φ ｜ ） ＝ ┐Ｔ（｜ ϕ ｜ ） ∨ Ｔ（｜ φ ｜ ）， ５） Ｔ（｜ ϕ↔φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ∩｜ ϕ → φ ｜ ） ＝ Ｔ（｜ ϕ → φ ｜ ） ∧ Ｔ（｜ φ → ϕ ｜ ）。 根据上述概念，给出直觉模糊粗糙逻辑的语义 推理。 在经典命题逻辑中，语义推理是围绕公式的真 值所展开的关于前提与结论的真值关系的讨论，粗 ·８４· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷