而虚位移原理以整体为研究对象,不出现约束反力,这正是分析静力学的优点。 例15-2图15-8所示机构中,杆AB与BC的长度均为l,B点挂有重为W的重物, D、E两点用弹簧连接,且BD=BE=b。已知弹簧 原长为l,刚度系数为k,不计各杆自重,试求机 构的平衡位置(以θ表示)。 解本题为求系统的平衡位置,系统的约束为 定常理想约束,可应用虚位移原理求解。但应注意, 弹簧的内力在D、E两点的相对虚位移上作功 E (1)以机构系统为研究对象。作功的力有重力 W和弹簧的内力。在平衡位置时,弹簧的变形量 λ=2 bcos e-l,E、D两点的弹性力的大小为 F=kn=k(2b cos0-1o) 图15-8 (2)机构有一个自由度,取O角为广义坐标。以xED表示E、D两点间的相对坐标 应用解析法求虚位移。对图示Axy坐标系 yB=Isin 8, xgp 2b cos 8 对上式作一阶变分,得 (3)根据虚功方程∑F·6r=0。则得 wo Fax=0 即 w Icos0 80-k(2bcos0-lo ) (-2bsin0 50=0 由于的独立性,可得 tan 0(2b cos0-10)=W1/2bk 讨论(1)关于弹簧的内力作功,也可将弹簧去掉,在点D和点E代以弹性力,则 按主动力计算弹性力的功,这是一般常用的方法。 (2)虚位移也可几何法计算,但功的计算较烦。请读者按几何法分析各力作用点的 虚位移 例15-3多跨静定如图15-9(a)所示。求在荷载P、Q作用下,支座D的约束反力 已知P=10kN,Q=20kN,图中的长度单位为m。 解图(a)所示的梁的自由度数等于零,不存在任何为约束所允许的位移。为了用 FNDI P Q C D10 而虚位移原理以整体为研究对象，不出现约束反力，这正是分析静力学的优点。 例 15-2 图 15-8 所示机构中，杆 AB 与 BC 的长度均为 l，B 点挂有重为 W 的重物， D、E 两点用弹簧连接，且 BD = BE =b。已知弹簧 原长为 l0，刚度系数为 k，不计各杆自重，试求机 构的平衡位置（以θ 表示）。 解 本题为求系统的平衡位置，系统的约束为 定常理想约束，可应用虚位移原理求解。但应注意， 弹簧的内力在 D、E 两点的相对虚位移上作功。 （1）以机构系统为研究对象。作功的力有重力 W 和弹簧的内力。在平衡位置时，弹簧的变形量 0 λ = 2bcosθ − l ，E、D 两点的弹性力的大小为 ( ) 0 F = k λ = k 2b cosθ − l （2）机构有一个自由度，取θ 角为广义坐标。以 xED表示 E、D 两点间的相对坐标， 应用解析法求虚位移。对图示 Axy 坐标系 yB = lsinθ ， xED = 2b cosθ 对上式作一阶变分，得 δ yB = l cosθ δθ ，δ xED = −2bsinθ δθ （3）根据虚功方程 ∑F ⋅δ r = 0 。则得 − − = 0 B ED Wδ y F δx 即 −W l cosθ δθ − k(2bcosθ − l0 )(− 2bsinθ )δθ = 0 由于 δθ 的独立性，可得 tan ( ) 2b cos l W l / 2b k θ θ − 0 = 讨论 （1）关于弹簧的内力作功，也可将弹簧去掉，在点 D 和点 E 代以弹性力，则 按主动力计算弹性力的功，这是一般常用的方法。 （2）虚位移也可几何法计算，但功的计算较烦。请读者按几何法分析各力作用点的 虚位移。 例 15-3 多跨静定如图 15-9（a）所示。求在荷载 P、Q 作用下，支座 D 的约束反力。 已知 P = 10kN，Q = 20kN，图中的长度单位为 m。 解 图（a）所示的梁的自由度数等于零，不存在任何为约束所允许的位移。为了用 θ F F W θ E C A y D B x 图 15-8 δrD δrP δrQ δrB D 1 1 1 1 A B C 2 P 图 15-9 Q D A B C FND P Q （a） （b）