②.若x>√a,则由f(x)的递增性可知xn>√a,所以{n}递减。 ③.若x1√a,也由f(x)的递增性可知xn<√a,所以{n}递增。 15、设xn i)”,求:lm 解:考察lnxn,化之为ln(1+x2)在[0,2]上的积分和。 16、设a>0,a1=(a+a3)3,a2=(a1+a3) 证{an}收敛于方程x3=x+x3的一个正根 证:先来讨论{an}的单调性 当a+a3≥a3时,可推知{an}递增,an≥a>0。当a+a3≤a3时,可 证{an}递减。 再来分析{an}的有界性:设f(x)=x+x3-x3 an}递增时,an=an1+a2≤an+a3,故f(an)≥0:{an}递减时, an=an+a2≥an+an,故f(an)≤0。因此,需要确定f(x)的保号区间。 由介值定理知正根ξ的存在性,又由罗尔定理知ξ的唯一性,再由f(+∞) ∞,所以在(0,+∞)上f(x)具有如下的保号性:f(x) (0,5);f(x)<0分x∈(5,+∞)。综上可知{an}递增时an≤5 即{an}有上界;{an}递减时an≥5,即{an}有下界 §2上极限与下极限 (一)数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义 上、下极限的确界定义: 设{xn}是有界数列,x=sup{x},xn=ntf{xk}。则{}递增有上界5 ① ． 若 1 x = a ， 则 n x = a 。 ② ． 若 1 x > a ,则 由 f(x)的递增性可知 n x > a ,所 以 xn  递减。 ③ ． 若 1 x < a ,也 由 f(x)的递增性可知 n x < a ,所 以 xn  递增。 1 5、 设 n x ＝ n n n n i n i x n = → ( + ) , lim 1 1 2 2 1 4 求： 。 解：考察 l n n x ，化之为 l n（ １ + 2 x ） 在 [ 0， 2 ]上的积分和。 1 6、设 a > 0 , 3 1 3 1 1 a = (a + a ) ， 3 1 3 1 2 1 a = (a + a ) ，．．．， 3 1 3 1 1 2 ( ) an = an− + an− ，．．．试 证 { n a }收敛于方程 3 x ＝ 3 1 x + x 的一个正根。 证：先来讨论 { n a }的单调性： 当 3 1 a + a  3 a 时，可推知 { n a }递增， n a  a > 0 。 当 3 1 a + a  3 a 时，可 证 { n a }递减。 再来分析 { n a }的有界性：设 f ( x ) = 3 1 x + x － 3 x 。 { n a } 递 增 时 ， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ， 故 f ( n a )  0 ； { n a } 递 减 时 ， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ， 故 f ( n a )  0。因此，需要确定 f ( x ) 的保号区间。 由介值定理知正根  的 存 在 性 ，又 由 罗 尔 定 理 知  的 唯 一 性 ，再 由 f(+  ) ＝ －  ， 所 以 在 （ 0， +  ） 上 f ( x ) 具有如下的保号性： f ( x ) ＞ ０  x  （ 0，  ）； f ( x ) ＜ ０  x  （  ， +  ）。 综 上 可 知 { n a }递增时 n a   ， 即 { n a }有上界； { n a }递减时 n a   ， 即 { n a }有下界。 § 2 上 极 限 与 下 极 限 （一） 数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义： 上、下极限的确界定义： 设 xn 是有界数列，  k  k n n x x  = sup ， n x =  k  k n x  inf 。则 xn 递增有上界