6 xn}递减有下界。记x=lmxn,x=lmxn,分别称为{xn}的上、下 极限,记为mxn,皿mxn。显然mxn=nfsp{x4},mxn= sup inf{xk} 并且 lim x 上、下极限的￡--N定义 x是{xn}的上极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N时 <x+E。②对任意自然数N’,存在自然数n(n>N)使得xn>x-E。 x是{xn}的下极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N时 xn>x-E。②对任意自然数N’,存在自然数n(n>N)使得xn<x+E。 上、下极限的聚点定义: x(x)是{xn}的上(下)极限,当且仅当x(x)是{n}的最大(小) 聚点 上、下极限的子列定义: x(x)是{x}的上(下)极限,当且仅当存在子列{}收敛于x(x), 且对{xn}任何收敛子列的极限,都有x≤≤x 基本事实:{xn}收敛的充要条件是皿mxn=lmxn 注:若{xn}无上界,则规定mxn=+∞,若{xn}无下界,则规定 lim x 范例: 1、对任意数列{xn}都有 ①mmx,slmx …+x ≤lix ②当x>0时又有: ≤myxn≤ lim /x≤l n→① 证:①利用上、下极限的E--N定义可证。 ②注意xn= x1。用E--N分析法可证左端的不等 式,再利用几何平均≤算术平均及①的结果可证右端的不等式6 x n  递减有下界。记 x = n→ lim n x ， x = n→ lim n x ，分别称为 xn  的 上 、 下 极限，记为 n n n n x x → → lim , lim 。显然 n n x → lim =  k  k n n x   inf sup 1 ， n n x → lim =  k  k n n x   sup inf 1 ， 并 且 n n x → lim  n n x → lim 。 上、下极限的  − −N 定义： x 是 xn  的 上 极 限 当 且 仅 当 对 任 意 正 数  有 ： ①存在 N 当 n > N 时 x  x +  n 。② 对 任 意 自 然 数 N ，存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得 x  x − n 。 x 是 xn  的 下 极 限 当 且 仅 当 对 任 意 正 数  有 ： ①存在 N 当 n > N 时 x  x − n 。②对 任意自然数 N ，存在自然数 n (n  N) 使 得 x  x +  n 。 上、下极限的聚点定义： x （ x ）是 xn  的 上（ 下 ）极 限 ，当 且 仅 当 x （ x ）是 xn  的 最 大（ 小 ） 聚点。 上、下极限的子列定义： x （ x ）是 xn  的 上（ 下 ）极 限 ，当 且 仅 当 存 在 子 列   nk x 收敛于 x （ x ）， 且 对 xn  任何收敛子列的极限  ，都有 x    x 。 基本事实： xn  收敛的充要条件是 n n x → lim = n n x → lim 。 注：若 xn  无 上 界 ， 则 规 定 n n x → lim = +  ， 若 xn  无 下 界 ， 则 规 定 n n x → lim =－  。 范例： 1、对任意数列 xn  都有： ① n n x → lim  n x xn n + + → 1  lim  n x xn n + + → 1  lim  n n x → lim 。 ② 当 n x > 0 时又有 : 1 lim − → n n n x x  n→ lim n n x  n→ lim n n x  n→ lim n−1 n x x . 证 ： ①利用上、下极限的  − −N 定义可证。 ②注意 n x = n−1 n x x 1 1 2 2 1 x x x x x n n  − − 。 用  − −N 分析法可证左端的不等 式，再利用几何平均 算术平均及 ①的结果可证右端的不等式