Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU A1l2+2 其中,41=a152+2a255y+a2 A2=a17 7y+a217y A12=a15,n+a2(,+5;n,)+a25,n Φ=Bl2+B2un+Cu+F,其中 B=a15xr+2a125x+a225+6,5+625 a1x+2a12+a2l+b12+b27 C=c, F=f 结论:二解线性偏微分方程经过自变量的可逆变换后,仍为二解线性偏 微分方程 变换的确定:变换的目的是化简方程,便于求解。为此,令A1=0, A2=0,方程即可简化。即 0 m2+2a12n7+a2n2=0 (b) 从中解出5=5(x,y),n=m(x,y),即所求化简方程的变换。如何从 (a)、(b)中解出=(x,y),n=n(x,y),由下述定理给出: 定理:设一阶二次常微分方程 dy 0 有两个解:q(x,y)=c,v(x,y)=d(c,d为常数),则 ∫5=o(x,y) 必分别满足方程(a)(b) 7=y(x,y) 证明:将o(x,y)=c两边对x求偏导,有,9+y=0,即,y=Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 10 A11u + 2A12u + A22u +  = 0 , 其中， 2 12 22 2 A11 = a11 x + 2a  x y + a  y , 2 12 22 2 A22 = a11x + 2a xy + a y , ( ) A12 = a11 xx + a12  x y +  yx + a22 y y ,  = B1u + B2u + Cu + F ，其中， B1 = a11 xx + 2a12 xy + a22 yy + b1 x + b2 y , B2 = a11xx + 2a12xy + a22 yy + b1x + b2 y , C = c, F = f . 结论：二解线性偏微分方程经过自变量的可逆变换后，仍为二解线性偏 微分方程。 变换的确定：变换的目的是化简方程，便于求解。为此，令 A11 = 0， A22 = 0 ，方程即可简化。即 2 0 2 12 22 2 a11 x + a  x y + a  y = , （a） 2 0 2 12 22 2 a11x + a xy + a y = . （b） 从中解出  =  (x, y) ， = (x, y) ，即所求化简方程的变换。如何从 (a),(b)中解出  =  (x, y) ， = (x, y), 由下述定理给出： 定理：设一阶二次常微分方程 0 d d 2 d d 12 22 2 11  − + =      a x y a x y a 有两个解： (x, y) = c ，  (x, y) = d （ cd, 为 常 数 ）， 则    = = ( , ) ( , ) x y x y     必分别满足方程(a),(b). 证明：将 (x, y) = c 两边对 x 求偏导，有，  x + y y  = 0 ，即， y x y    = −