Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 7. Schro dinger方程 au h2 Vu+v()u Schro dinger方程不是输运方程。如果方程和边界条件均可分离变量 则分离变量法:设uF,1)=R()T(r)[取此特解形式,可得T(t)是振荡函数, 而与F无关,R(P)是幅度函数,与t无关],将此u(F,1)代入方程,即得 iR(F)r()=-v2R(r)m()+(F)R(F)r() 等式两端除以R(F7(,就有T()h2V2R()+()≡E 7(t)2mR(F) 后一个方程在适当条件下构成本征值问题,从而可解得本征值E,再解另外 一个方程得Tn(1)=7(0).如果En=ReEn,则 Schro dinger方程是波 动方程。如果E=ReEn+ iIme,则特解是T(1)=T(0)eme,当 lmEn<0时,它指数衰减(衰竭),当ImEn>0时,它指数增加(爆炸)。 三、二阶线性偏微分方程的分类和化简(不要求) a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 a,,u+2a,24+a22 u+b,,+b2 u,+ cu+f=o b)自变量变换时方程的性质 设=xy,a1x ≠0(这时可唯一解出x,y) 雅克比行列式:(5m)-ax0a_050n a(x,y)an anl ax ay ay ax 这儿为Q5≠0B+谷 ≠0 于是u(x,y)→u(,n)(变换后的函数仍用同一符号u)Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 9 7．Schr .. o dinger 方程 2 2 ( ) . 2 u i u V r u t m  = −  +  Schr .. o dinger 方程不是输运方程。 如果方程和边界条件均可分离变量， 则分离变量法：设 u r t R r T t ( , ) ( ) ( ) = [取此特解形式，可得 T t() 是振荡函数， 而与 r 无关， R r( ) 是幅度函数，与 t 无关],将此 u r t ( , ) 代入方程，即得 2 2 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 i R r T t R r T t V r R r T t m = −  + 等式两端除以 R r T t ( ) ( ), 就有 2 2 '( ) ( ) ( ) . ( ) 2 ( ) T t R r i V r E T t m R r  = − +  后一个方程在适当条件下构成本征值问题，从而可解得本征值 . E n 再解另外 一个方程得 / ( ) (0) . n iE t T t T e n n − = 如果 Re , E E n n = 则 Schr .. o dinger 方程是波 动方程。 如果 Re Im , E E i E n n n = + 则特解是 Im / Re / ( ) (0) . E t i E t n n T t T e e n n − = 当 Im 0 E n  时，它指数衰减（衰竭），当 Im 0 E n  时，它指数增加（爆炸）。 三、二阶线性偏微分方程的分类和化简 (不要求) a) 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu + f = 0. b) 自变量变换时方程的性质 设    = = ( , ) ( , ) x y x y     ， 0 ( , ) ( , )    x y   （这时可唯一解出 x, y ）, 雅克比行列式： , ( , ) ( , ) , x y x y x y y x x y                    = = −          , 这儿仅为 0, 0, 0, 0. x y x y                 于是 u(x, y)  u(,) （变换后的函数仍用同一符号 u ）