《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的 4.2.2可配置条件 考虑由式(4.1)定义的线性定常系统。假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 Kx 式中K为线性状态反馈矩阵,由此构成的系统称为闭环反馈控制系统,如图4.1(b)所示。 现在考虑极点的可配置条件,即如下的极点配置定理 定理41(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是,此被控系统状态完全能控。 证明;由于对多变量系统证明时,需要使用循环矩阵及其属性等,因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是,这一定理对多变量系统也是完全成立的 1°必要性。即已知闭环系统可任意配置极点,则被控系统状态完全能控 现利用反证法证明。先证明如下命题:如果系统不是状态完全能控的,则矩阵A-BK的 特征值不可能由线性状态反馈来控制 假设式(41)的系统状态不能控,则其能控性矩阵的秩小于n,即 ra[B:AB:…:A"B]=q<n 这意味着,在能控性矩阵中存在q个线性无关的列向量。现定义q个线性无关列向量为 f,J2,…,J,选择nq个附加的n维向量vg+,vq+2,…,Vn,使得 P=[f1:f2 的秩为n。因此,可证明 Bu A PAP A12 B=PB 0 这些方程的推导可见例47。现定义 K=KP=k,: k,I 则有《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的任意极点配置才是可能的。 4.2.2 可配置条件 考虑由式（4.1）定义的线性定常系统。假设控制输入 u 的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为 u = −Kx 式中 K 为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图 4.1（b）所示。 现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。 定理 4.1 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是，此被控系统状态完全能控。 证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。 o 1 必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。 现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵 A-BK 的 特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设式（4.1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于 n，即 rank B AB A B q n n =  − [ ] 1   这意味着，在能控性矩阵中存在 q 个线性无关的列向量。现定义 q 个线性无关列向量为 q f , f , , f 1 2  ，选择 n-q 个附加的 n 维向量 q q n v , v , , v +1 +2  ，使得 [ ] 1 2 q q 1 q 2 n P f  f    f  v  v    v = + + 的秩为 n 。因此，可证明           = =       = = − − 0 ˆ , 0 ˆ 11 1 22 1 11 12  B B P B A A A A P AP 这些方程的推导可见例 4.7。现定义 [ ] ˆ 1 2 K = KP = k  k 则有