《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意,当控制输入为向量时,极点配置方法的数学表达式十分复杂,本书将不讨论 这种情况。还应注意,当控制输入是向量时,状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于n个参数,也就是说,除了适当地配置n个闭环极点外,即使闭环系统还有其他需 求,也可满足其部分或全部要求 4.2.1问题的提法 前面我们己经指出,在经典控制理论的系统综合中,不管是频率法还是根轨迹法,本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 4.1) 式中x(1)∈R,u(t)∈R,A∈Rm,B∈R。 选取线性反馈控制律为 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定,因此将该方法称为状态反馈方法。其中1×n维 矩阵K称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中,假设u不受约束 图41(a)给出了由式(41)所定义的系统。因为没有将状态x反馈到控制输入中 所以这是一个开环控制系统。图4.1(b)给出了具有状态反馈的系统。因为将状态x反馈到 了控制输入u中,所以这是一个闭环反馈控制系统 (缺图,见更新版) 图4.1(a)开环控制系统(b)具有u=-Kx的闭环反馈控制系统 将式(4.2)代入式(4.1),得到 x(1)=(A-BK)x() 该闭环系统状态方程的解为 x()=e(4-B)x(0) 式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当,则可使矩阵A-BK构成一个渐近稳定矩阵,此时对所有的 x(0)≠0,当t→∞时,都可使x(→0。一般称矩阵A-BK的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于s的左半平面内,则当t→∞时,有x(1)→0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题,称之为极点配置问题 下面讨论其可配置条件。我们将证明,当且仅当给定的系统是状态完全能控时,该系统《现代控制理论基础》第四章(讲义) 方法。 应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论 这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于 n 个参数，也就是说，除了适当地配置 n 个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需 求，也可满足其部分或全部要求。 4.2.1 问题的提法 前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统 x  = Ax + Bu (4.1) 式中 1 1 ( ) , ( ) , ,       n n n n x t R u t R A R B R 。 选取线性反馈控制律为 u = −Kx (4.2) 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中 1×n 维 矩阵 K 称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设 u 不受约束。 图 4.1（a）给出了由式（4.1）所定义的系统。因为没有将状态 x 反馈到控制输入 u 中， 所以这是一个开环控制系统。图 4.1（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态 x 反馈到 了控制输入 u 中，所以这是一个闭环反馈控制系统。 （缺图，见更新版） 图 4.1 (a) 开环控制系统 (b) 具有 u = −Kx 的闭环反馈控制系统 将式（4.2）代入式（4.1），得到 x (t) = (A − BK)x(t) 该闭环系统状态方程的解为 ( ) (0) ( ) x t e x A−BK t = (4.3) 式中 x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵 A-BK 的特征 值决定。如果矩阵 K 选取适当，则可使矩阵 A-BK 构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的 x(0)≠0，当 t → ∞时，都可使 x(t) → 0。一般称矩阵 A-BK 的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于 s 的左半平面内，则当 t → ∞时，有 x(t) → 0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。 下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统