算子 (I-T)(+T+…T)=(I+T+T2+…+T) (T+T2+…+T+) I-T 令n→∞,则T+≤T1-0因<1,故可知∑7*是I-T 的右逆,同理可知共为左逆.这就证明了S=(I-T).证毕 定理2(谱集的闭性)设T∈始(X→X),则p(T)是开集 (T)是闭集. 证若p(T)=必,则p(T)自然是开集.(定理3将证明:有 界线性算子的谱,不会超过它的范数,即∈(T),则A4≤|,因 此这种情形实际上不会发生) 若p(T)非空,设A∈0(T).对任意的复数λ,有恒等式: T-dI=T-aI-(A-do) =(T-An1)[-(T-A)(λ-A)] 现在考I-(T-A0)-(A-A),由AP(T),(T一0T)是有界 算子,且非零.如果|A-101<(T-n)-1-,则(7-42)(元一 l){<1,由定理1知 [I-(T-0)(4-10)] 有逆V1,于是 (T-a1)=(T-AoI)v. 右边两项均存在有界逆算子,故(T—D)也有逆: (T-4)=V-1(r-401)1 这就证明了,若λn∈p(T),则存在A的邻域 U(A0)={14-<T-AD), U(HoC(T) 由于λ6是任取的,故p(T)为开集,因而σ(T)为闭集.证毕51