高等数学教案 第十二章无穷级数 例9证明级数∑(-1)1口收敛，并估计和及余项， n=l n 证这是一个交错级数.因为此级数满足 1、1 (1)4m= nn+l =41n=1,2,k(2)lim u=lim1=0, n-→0 n-→07 由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和s=1,余项，S山1= n+l 三、绝对收敛与条件收敛： 若级数∑u,收敛，则称级数∑n绝对收敛；若级数24n收敛，而级数∑u,发散 =1 7=1 = =1 则称级∑4n条件收敛. =1 例10 级数(-y-1号是绝对收敛的，而级数∑(-1-11是条件收敛的。 n=1 h2 n=1 n 定理7如果级数∑，绝对收敛，则级数∑山，必定收敛。 n=1 n=1 值得注意的问题：如果级数以发散，我们不能断定级数2，也发散。但是，如果我们 0 n=1 n=1 用比值法或根值法判定级数 2M,发散则我们可以断定级数2山，必定发散这是因为， =1 n=1 o 此时u不趋向于零，从而u也不趋向于零，因此级数∑山n也是发散的. n= 例11判别级数2s血0的收敛性 -1n2 、解因为1Sn长。，而级数∑之是收敛的， n 所以级数2i血n0也收敛从而级数s血0绝对收敛 n=1 n2 n1n2 例1卫判别级数三-r2+分》”的收敛性 n=】 解邮，0+r,有mm+以>1， n→∞ 可知m4,0,因此级数-少2+}》y发放 =