高等数学教案 第十二章无穷级数 2)如果p>1,而limn nPu=1(0≤1<），则级数2un收敛 -00 例7判定级数∑n(I+)的收敛性. 解因为+→故 mn,=2+凉=m是， n-a 根据极限审敛法，知所给级数收敛： 例8判定级数2Vn+10-cos西的收敛性. =1 解因为 mn,=mnn+i0-os=m,时=2， 3 1→ 1→30 0 V n 2 n 根据极限审敛法，知所给级数收敛， 二、交错级数及其审敛法 交错级数：交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为∑(-I)”-4n,其中4n>0 月世 例如， ∑(--1是交错级数，但2(-1y-1l-COSHE不是交错级数。 7= 定理7（莱布尼茨定理） 如果交错级数∑(-I)-4n满足条件： n=1 (1)4n≥4n+1(n=1,2,3,…) 2m4。=0, 则级数收敛，且其和s≤u,其余项rn的绝对值Irn≤un+1 证：设前n项部分和为sn 由52n=(u1-u2+u3-ua+·+(u2n1-u2n,及 52m=U1-(u2-Ug)+(u4-Us)H··+(u2m-2-U2m-1-u2n 看出数列{52m}单调增加且有界(s2n<u1,所以收敛 设52n→s(n→00，则也有52n+1=52n+u2n+1→s(n→00，所以5n→5n→00).从而级数是收 敛的，且5n<u1 因为|rn=Un+1-Un+2+也是收敛的交错级数，所以|rn≤un+: