高等数学教案 第十二章无穷级数 解iml=lim (2n-02n=1. n→04mn-∞(2n+1)(2n+2) 这时1，比值审敛法失效，必须用其它方法来判别级数的收敛性。 因为 1 2<之，而级数2收敛，因此由比较审敛法可知所给级数收敛。 1 (2n-1)-2nn2 n=ln 定理5（根值审敛法，柯西判别法） 设∑山n是正项级数，如果它的一般项u,的n次根的极限等于p n= lim un=p, n-→0 则当p心1时级数收敛；当p>1(或1imn=+o)时级数发散；当仁1时级数可能收敛也 n-→0 可能发散 1 例8证明级数1+2+ 3+…+1 +·是收敛的 并估计以级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差. 解因为lim义4，=lim =lim1=0, n-→Vn" 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛 以这级数的部分和5n近似代替和5所产生的误差为 lrn上 1 1 a+l-+0+2y*7+0n+3*s+… 1 1 1 n+）t0+1)n2+n+*s+…+ 1 n(n+1)" 例6判定级数22+二少的收敛性 白2n 解因为 m,=im22+(←y=分 7→0 H-→00L 所以，根据根值审敛法知所给级数收敛， 定理6 (极限审敛法) 设艺un为正项级数。 (1)如果1im4n=>0或1imn4n=+o),则级数∑4n发散； 7→00 n-→0 n=l