线性方程组的数值稳定性 给定矩阵A∈Rmxn,向量b∈Rm,求x∈Rn使得Ax=b ·假设向量b有误差，变成b+e,x会怎么变化？ x=A-1b→x=A-1(b+e) 该线性方程组的条件数cond(A)= x的相对误差 b的相对误差 记e为b的误差，则x的误差为A-1e,任取一向量范数， lA-1el/八lA-1bl IlA-1ell lI cond(A)=max max e,b≠0 llell/llbl e,b≠0 llell IIA-1bll llA-1ell lIbll IlA-1ell IlAxll max max max max e≠0 llell b*0lA-1bl川 e≠0 lell X≠0 。 矩阵的算子范数‖Al=max ‖Ax‖ x≠0x‖ 因此条件数cond(A)=lA·IA1l 16 线性方程组的数值稳定性 给定矩阵� ∈ ℝ&×'，向量� ∈ ℝ& ，求� ∈ ℝ' 使得�� = � • 假设向量�有误差，变成� + �， �会怎么变化？ • � = �)*� → � = �)*(� + �) • 该线性方程组的条件数cond � = +的相对误差 ,的相对误差 记�为�的误差，则�的误差为�)*�，任取一向量范数， cond � = max -,,/0 �)*� / �)*� � / � = max -,,/0 �)*� � � �)*� = max -/0 �)*� � max ,/0 � �)*� = max -/0 �)*� � max +/0 �� � • 矩阵的算子范数 � ≔ max +/0 1+ + • 因此条件数cond � = � ⋅ �)* 16