第65讲定积分计算常见错误分析 233 合并两部分的结果,得到 dx= arccos+C. 由此 dx arccos arccos 一 arccos √x2-1 12 注意不定积分与定积分有联系,也有区别:不定积分的目的是求被积函数的(所有) 原函数而定积分的目的在于求出积分值有的书上只讲公式出=:=m+c 的原因是考虑到学习不定积分的目的主要在于训练学生求原函数的技巧,为了使这种训练 单纯起见,允许只求出所给函数在某一特定区间的原函数.因此读者应注意到:公式 念=mm+c仅给出了 d √x—在(1,+∞)这一个区间上的原函数, 公式 dx= arccos+C才给出了 x√x=在整个定义区间的原函数 例4计算I= d 【错解】I=Q=d(mx、2+1nx,m)dx 11+x1dx=(3-2)+1=1+1 由I=1+I可知I 解上述计算中第五个等号后面发生了错误,应该是12=1-1=0,而不是1|3= 2 1,因为这里1代表常数函数y=1,它在x=2及x=3处的函数值均等于1 用换元法计算了-厂正4x-,m4)=km(m)=lm2 例5已知y=1+td求 【错解】由变上限定积分求导法则知若y=/(),则成立:x=/(x) 根据上述公式,得dy=f(x2)=√1+x 解本题所给的变上限定积分中,上限x2是x的函数,故y √1+tdt,应理解 为由y=+,=z复合而成 -出·出-Ⅵ+,2x=2x41+2 例6计算 dx,指出错处,分析错因,作出解答 1) 错解】 dr [-]--2 解本题被积函数取正值,积分区间由小到大,根据定积分定义,定积分值应为正 的 所以上述计算必有错误.其原因是x=1是被积函数的无穷间断点,这是一个广义积分,不 能直接用牛顿一莱布尼兹公式计算,应该先讨论其收敛性 原式一a21d+」a21y